Derivada da função inversa

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Cálculo Instrumental - Profa. Rosely Pestana 
1 
DERIVADA DA 
FUNÇÃO INVERSA 
 TEOREMA DA FUNÇÃO INVERSA. Seja f 
uma função derivável e inversível num 
intervalo aberto I. Se f’(x)  0, para todo 
x  I, então f-1 é derivável e a sua derivada 
é dada por: 
  f(x)y onde ,
)x('f
)y('f 
11
DERIVADA DAS FUNÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS 
INVERSAS 
 1) FUNÇÃO ARCO SENO 
-1 -1
A função f: , [-1,1] definida por
2 2
f(x) sen(x) tem como inversa a função
f :[-1,1] , , dada por f (x) arcsen(x).
2 2
 
 
 
   

 
    
   


x
y
y = sen(x) 
     


x
y
y = arcsen(x) 
A função f:[-1,1] , , definida por
2 2
f(x) arcsen(x) é derivável em ]-1,1[ e sua
derivada é dada por:
  
   

2
1
f '(x)
1 x


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2 
 2) FUNÇÃO ARCO COSSENO 
 
   -1 -1
A função f:[0, ] 1,1 definida por 
f(x) cos(x) tem como inversa a função 
f : 1,1 0, , dada por f (x) arccos(x).


 

  
  


x
y
y = cos(x) 
       


x
y
y = arccos(x) 
   A função f: 1,1 0, , definida por 
f(x) arccos(x) é derivável em ]-1,1[ e 
sua derivada é dada por:
 

2
1
f '(x)
1 x
 

 3) FUNÇÃO ARCO TANGENTE 
-1 -1
A função f: , R definida por 
2 2
f(x) tg(x) tem como inversa a função 
f :R , , dada por f (x) arctg(x).
2 2
 
 
 
   

 
    
     






x
y
y = tg(x) 
       


x
y
y = arctg(x) 
A função f:R , , definida por
2 2
f(x) arctg(x) é derivável e sua derivada
é dada por:
  
   

2
1
f '(x)
1 x


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3 
 4) DERIVADA DAS OUTRAS FUNÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 
2
1
a) Se y arccotg(x), então y' .
1 x
  

2
1
b) Se y arcsec(x), então y' ,
|x| x 1
com |x| 1.
 


2
1
c) Se y arccossec(x), então y' ,
|x| x 1
com |x| 1.

 


 RESUMINDO: 
2
1
1) Se y arcsen(x), então y' .
1 x
 

2
1
2) Se y arccos(x), então y' .
1 x
  

2
1
3) Se y arctg(x), então y' .
1 x
 

2
1
4) Se y arccotg(x), então y' .
1 x
  

2
1
5) Se y arcsec(x), então y' , com |x| 1.
|x| x 1
  

2
1
6) Se y arccossec(x), então y' , com |x| 1.
|x| x 1

  
