Lista de Exercícios 3

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAMPA
Campus Sa˜o Gabriel
Biotecnologia
Prof. Cristhian Augusto Bugs
Lista de Exerc´ıcios 3
Exerc´ıcio 1: Determine a derivada das func¸o˜es abaixo:
a) f(x) = x10 b) f(x) = x
4
3 ; c) f(x) = 4
√
x; d) y = 5x3 − 3x2 + 5;
e) f(t) = −6t5 + 3t2 − 7; f) f(t) = 4t 32 − 5t 12 ; g) h(x) = t−12 + t 13 ;
h) f(x) = x+2x−3 i) f(t) =
2t2+t4−2
t4
j) g(x) = ex(x− 2) h) h(t) = √x(x2 − 1).
Exerc´ıcio 2:Determine f’(1) e f’(-2) para cada uma das func¸o˜es abaixo.
a) f(x) = 5x2 − 3x + 1
b) g(x) = x
3
2+2
x
c) h(x) =
3
√
x2
d) h(x) = −3x3 + x2
e) h(x) = e3x
f) h(x) = e−2x+1 + 3x
Respostas:
a) f ′(1) = 7
c) f ′(1) = 23
d) f ′(1) = −7
e) f ′(1) = 3e3
Exerc´ıcio 3: Utilizando a regra da cadeia, calcule a derivada das func¸o˜es abaixo.
a) f(x) = (x3 + 2x)37 b) f(x) = (3x2 + 2x− 1)6 c) f(x) = (x3 − 7x)−2
d) f(x) =
√
x3 − 2x + 5 e) f(x) = 4
(3x2−2x+1)3 f) f(x) = e
x2 − 1
g) g(x) = 3xe−2x
h) f(x) = ln(x− 1) i) g(t) = 1
ln(t2)
Respostas: a) f ′(x) = 37(x3 + 2x)36(3x2 + 2)
c) f ′(x) = −2(x3 − 7x)−3(3x2 + 7x−2)
e) f ′(x) = −12(3x2 − 2x + 1)−4(6x− 2)
f) f ′(x) = 2xex2
g) f ′(x) = cos(x2)2x
j) f ′(x) = 1x−1
1
Exerc´ıcio 4: Calcule a derivada das func¸o˜es exponenciais e logaritmicas abaixo:
a) f(x) = e4x b) f(x) = e1−x; c) f(x) = e−x2 ; d) f(x) = e
1
x ;
e) f(x) = e−2x+x2 ; f) f(t) = 1
2−e−t ; g) f(t) =
et−e−t
2 ;
h) f(x) = 8
1+e−0,5x i) f(t) =
8
1+e
−0,5
x
; j) f(t) = ln(t2 + 3); l) f(t) = ln( xx+1);
m) f(x) = e−xln(x).
Respostas:
a) f ′(x) = 4e4x
c) f ′(x) = −2xe−x2
e) f ′(x) = (−2 + 2x)e−2x+x2
f) f ′(t) = 2−2e
−x
(2−e−x)2
h) f ′(x) = 1+
3
2
e−0,5x
(1+e−0,5x)
j) f ′(x) = 2x
x2+3
m) f ′(x) = e−x( 1x − ln(x))
Observac¸a˜o 1 Lembrando que dada uma func¸a˜o f(x), dizemos que x0 e´ o ponto
cr´ıtico de f(x) quando f ′(x0) = 0. Por exemplo, dada a func¸a˜o f(x) = x3 − 3x o
ponto x0 = 1 e´ um ponto cr´ıtico de f(x), pois f
′(x) = 3x2−3 e f ′(1) = 3 ·12−3 = 0.
Isto significa que para encontrar os pontos cr´ıticos de uma func¸a˜o precisamos resolver
a equac¸a˜o
f ′(x) = 0
Exerc´ıcio 5: Calcule os pontos cr´ıticos das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = 3x2 + 2x + 1 b) f(t) = t3 − 3t2 + 3t− 7 c) g(x) = 2x3 − 3x2 + 5
d) f(x) = x + 1x e) h(x) = 3x
4 + 4x3 − 12x2 + 10 f) f(x) = cos(x)
g) f(x) = xe−x h) g(x) = x2e−x i) f(x) = ln(x)− x
Respostas:
a) x = −13
b) t = 1
c) x = 0 e x = 1
d) x = 1 e x = −1
e) x = 0, x = −2 e x = 1
f) Discutir
m) x = 1
h) x = 0 e x=2
i) x = 1
2
Exerc´ıcio 6: Encontre os intervalos nos quais f(x) e´ crescente e os intervalos onde
f(x) e´ decrescente.
a) f(x) = x2 − 3x + 8 b) f(x) = 5− 4x− x2 c) f(t) = (2t + 1)3
d) f(x) = −x3 + 12x + 5 e) f(x) = 3x4 − 4x3 f) f(x) = x4 − 5x3 + 9x2
g) g(x) = x−2
(x2−x+1)2 h) f(x) =
x
x+2 i)f(x) =
3
√
x2 + x + 1
j) f(x) = x
4
3 − x 13 l) g(t) = (x 23 − 1)2 m) f(x) = e−x
2
2
n) f(x) = xex
2
o) f(x) = ln(
√
x)
Respostas:
a) crescente em [3/2,+∞) e decrescente em (−∞, 3/2]
c) crescente em (−∞,+∞)
e) crescente em [1,+∞) e decrescente em (−∞, 1]
g) crescente em [3−
√
5
2 ,
3+
√
5
2 ] e decrescente em (−∞, 3−
√
5
2 ] e [
3+
√
5
2 ,+∞)
i) crescente em [−1/2,+∞) e decrescente em (−∞,−1/2]
l) crescente em [−1, 0) e [1,+∞) decrescente em (−∞,−1] e [0, 1]
m) crescente em (−∞, 0] e decrescente em ([0,+∞)
Exerc´ıcio 7: O volume V de ar nos pulmo˜es(em litros) durante um ciclo respirato´rio
de cinco segundos pode ser modelado pela func¸a˜o
V (t) = 0, 1729t + 0, 1522t2 − 0, 0374t3
onde t e´ o tempo em segundos. Analise V(t).
Exerc´ıcio 8: A disseminac¸a˜o de um v´ırus pode ser modelada pela func¸a˜o N(t) =
−t3 + 12t2 para 0 ≤ t ≤ 12, onde N e´ o nu´mero de pessoas infectadas em centenas
e t e´ tempo em semanas.
a) Determine os pontos cr´ıticos de N(t).
b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de S(x);
Exerc´ıcio 9: A func¸a˜o
f(t) =
t2
1− 2t + t2
descreve o crescimento de uma planta em func¸a˜o do tempo t.Analise f(x)(crescimento,decrescimento
e pontos cr´ıticos).
Exerc´ıcio 10: Suponha que a populac¸a˜o de bacte´rias aero´bicas em um pequeno
lago seja modelada pela equac¸a˜o
P (t) =
60
5 + 7e−t
onde P(t) e´ a populac¸a˜o(em bilho˜es) t dias depois da observac¸a˜o inicial no tempo
t=0. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de P(t).
Exerc´ıcio 11:Um fabricante de papela˜o deseja fazer caixas abertas a partir de
pedac¸os quadrados de papela˜o com 12cm de lado, cortando quadrados iguais com
lados de comprimento x dos quatro cantos e dobrando os lados para cima. Determine
uma func¸a˜o que descreve o volume desta caixa em func¸a˜o do comprimento x.
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a) A func¸a˜o que descreve a a´rea deste campo em func¸a˜o de x;
b) Analise f(x)(crescimento e decrescimento);
Resposta: (a) V (x) = x.(12− 2x)2 (b) Discutir
Exerc´ıcio 12:Suponha que a concentrac¸a˜o C de um medicamento na corrente
sangu¨inea t horas apo´s ser aplicada uma injec¸a˜o seja dada por
C(t) =
0, 2t
t2 + 1
a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de C(t);
b) Determine os pontos cr´ıticos de C(t).
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