Para analisar a função quadrática \( f(x) = -x^2 + 2x + 3 \), vamos considerar algumas características dela. 1. Forma da função: A função é do tipo \( ax^2 + bx + c \), onde \( a = -1 \), \( b = 2 \) e \( c = 3 \). Como \( a < 0 \), a parábola é voltada para baixo, o que indica que ela terá um ponto de máximo. 2. Ponto de máximo: O ponto de máximo pode ser encontrado pela fórmula \( x = -\frac{b}{2a} \). Substituindo os valores: \[ x = -\frac{2}{2 \cdot -1} = 1 \] Agora, substituindo \( x = 1 \) na função para encontrar o valor de \( f(1) \): \[ f(1) = -1^2 + 2 \cdot 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 \] Portanto, o ponto de máximo é \( (1, 4) \). 3. Interseções: - Com o eixo y: Para encontrar a interseção com o eixo y, basta calcular \( f(0) \): \[ f(0) = -0^2 + 2 \cdot 0 + 3 = 3 \] Portanto, a função intercepta o eixo y em \( (0, 3) \). - Com o eixo x: Para encontrar os pontos de interseção com o eixo x, precisamos resolver \( f(x) = 0 \): \[ -x^2 + 2x + 3 = 0 \] Multiplicando por -1, temos: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Fatorando, obtemos: \[ (x - 3)(x + 1) = 0 \] Portanto, \( x = 3 \) e \( x = -1 \), indicando que há dois pontos de interseção com o eixo x. Agora, analisando as alternativas: a) Um ponto de máximo - Correto. b) Um ponto de mínimo - Incorreto. c) Dois pontos de interseção com o eixo x - Correto. d) Um ponto de interseção com o eixo y - Correto. e) Nenhuma das alternativas - Incorreto. A resposta correta é: a) Um ponto de máximo.