Para resolver essa questão, precisamos calcular a matriz \( M^2 \) (o produto da matriz \( M \) por ela mesma) e analisar as conexões de grau 2 entre as pessoas \( P_1, P_2, P_3 \) e \( P_4 \). A matriz \( M \) é: \[ M=\left(\begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \] Calculando \( M^2 \): \[ M^2 = M \times M = \left(\begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \] Calculando cada elemento da matriz resultante: 1. Para \( a_{11} \): \( 0*0 + 1*0 + 0*1 + 1*1 = 1 \) 2. Para \( a_{12} \): \( 0*1 + 1*0 + 0*1 + 1*0 = 0 \) 3. Para \( a_{13} \): \( 0*0 + 1*1 + 0*0 + 1*1 = 2 \) 4. Para \( a_{14} \): \( 0*1 + 1*0 + 0*1 + 1*0 = 0 \) 5. Para \( a_{21} \): \( 0*0 + 0*0 + 1*1 + 0*1 = 1 \) 6. Para \( a_{22} \): \( 0*1 + 0*0 + 1*1 + 0*0 = 1 \) 7. Para \( a_{23} \): \( 0*0 + 0*1 + 1*0 + 0*1 = 0 \) 8. Para \( a_{24} \): \( 0*1 + 0*0 + 1*1 + 0*0 = 1 \) 9. Para \( a_{31} \): \( 1*0 + 1*0 + 0*1 + 1*1 = 1 \) 10. Para \( a_{32} \): \( 1*1 + 1*0 + 0*0 + 1*0 = 1 \) 11. Para \( a_{33} \): \( 1*0 + 1*1 + 0*0 + 1*1 = 2 \) 12. Para \( a_{34} \): \( 1*1 + 1*0 + 0*1 + 1*0 = 1 \) 13. Para \( a_{41} \): \( 1*0 + 0*0 + 1*1 + 0*1 = 1 \) 14. Para \( a_{42} \): \( 1*1 + 0*0 + 1*0 + 0*0 = 1 \) 15. Para \( a_{43} \): \( 1*0 + 0*1 + 1*0 + 0*1 = 0 \) 16. Para \( a_{44} \): \( 1*1 + 0*0 + 1*1 + 0*0 = 2 \) Assim, a matriz \( M^2 \) é: \[ M^2 = \left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \end{array}\right) \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) Existem 5 pares de pessoas diferentes \( (P_{i} \neq P_{j}) \) que não possuem conexões de grau 2. - Precisamos verificar os pares e suas conexões de grau 2. B) Existem 6 pares de pessoas diferentes \( (P_{i} \neq P_{j}) \) que possuem apenas uma conexão de grau 2. - Precisamos verificar se há 6 pares com exatamente uma conexão de grau 2. C) Existem 3 pares de pessoas diferentes \( (P_{i} \neq P_{j}) \) que possuem 2 conexões de grau 2 diferentes. - Precisamos verificar se há 3 pares com 2 conexões de grau 2. D) Existem 3 pessoas que possuem conexões de grau 2 com todas as outras pessoas da rede social. - Precisamos verificar se 3 pessoas têm conexões de grau 2 com todas as outras. E) Existe apenas 1 pessoa \( P_{i}(i \neq 3) \) tal que \( P_{i} \) e \( P_{3} \) seguem-se mutuamente. - Precisamos verificar se apenas uma pessoa segue \( P_3 \) e é seguida por ele. Após a análise, a alternativa correta é a) Existem 5 pares de pessoas diferentes \( (P_{i} \neq P_{j}) \) que não possuem conexões de grau 2.