Aulas 19 e 20 – Transformações Lineares. Transformação Linear determinada por uma Base.

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Aulas 19 e 20 – Transformações Lineares. Transformação Linear determinada por uma Base. 
 
Definição 1: Sejam e dois espaços vetoriais reais. Uma transformação linear de em é uma aplicação 
 que satisfaz as propriedades: 
i) ( ) ( ) ( ) para todos . 
ii) ( ) ( ) para todo e todo . 
 
 
Exemplo 1: Determine quais das aplicações abaixo são transformações lineares: 
a) dada por ( ) , onde é um espaço vetorial ( é chamada a aplicação identidade de ) 
b) dada por ( ) , onde é um espaço vetorial ( é chamada a aplicação nula de ) 
c) dada por ( ) ( ) 
d) dada por ( ) 
e) ( ) dada por ( ) 
f) ( ) dada por ( ) 
 
 
Proposição 1: i) Se é uma transformação linear, então ( ) . 
ii) Se é uma aplicação tal que ( ) , então não é uma transformação linear. 
 
 
Exemplo 2: Seja ( ). Então, a aplicação 
 definida por ( ) 
 , é uma 
transformação linear. 
 
 
Exemplo 3: Seja [
 
 
 
]. Na notação do exemplo 2, determine a expressão de . 
 
 
Transformação Linear determinada por uma Base. 
 
Teorema 1: Sejam e dois espaços vetoriais reais e uma base de . Dados 
 , existe uma única transformação linear tal que ( ) , para todo . Ainda, para um 
vetor qualquer que se escreve como , ( ) é dada por 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
 
Exemplo 4: Encontre a transformação linear tal que ( ) ( ) ( ) ( ) e ( ) 
( ). Em seguida, encontre tal que ( ) ( ) Quais os vetores tais que ( ) ( )? 
 
 
Exemplo 5 (Questão 3 da lista 4): Determine a lei da transformação linear , sabendo que 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
Determine o vetor tal que ( ) ( ). 
 
 
 
Exercícios: 
 
Exercício 1: Determine quais das seguintes aplicações são transformações lineares: 
g) dada por ( ) ( ) 
h) dada por ( ) ( ) 
i) dada por ( ) ( ) 
j) dada por ( ) ( ) 
k) dada por ( ) [ ] [
 
 
 
] 
l) dada por n( ) (| | ) 
m) ( ) ( ) dada por ( ) 
 
Resposta: São transformações lineares: e . 
 
 
Exercício 2: Seja ( ) uma matriz quadrada qualquer, fixada. Considere a aplicação ( ) 
 ( ) definida por ( ) . Mostre que é uma transformação linear. 
 
 
Exercício 3: Encontre a transformação linear tal que ( ) ( ) e ( ) ( ) . 
Resposta: ( ) ( ). 
 
 
Exercício 4: 
a) Qual é a transformação linear tal que ( ) ( ) e ( ) ( )? 
b) Determine ( ) e ( ). 
c) Qual é a transformação linear tal que ( ) ( ), ( ) ( ) e ( ) 
( )? 
d) Determine a composta . 
 
 
Exercício 5 (Questão 5 da lista 4): Em , sejam ( ) ( ) e ( ) 
Se é uma transformação linear tal que ( ) ( ) e ( ) determine ( ).