Tipos de Matrizes e Operações

Prévia do material em texto

18/02/2013
1
Geometria Analítica e Álgebra
Linear
Tipos de Matrizes e Operações
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 1
O que são Matrizes?
• Matrizes são conjuntos de dados
matemáticos (números, polinômios,
funções, etc) dispostos em linhas e
colunas.
• Sua utilização é útil na resolução de
diversos problemas matemáticos
envolvendo conjuntos de dados (Ex:
Sistemas lineares).
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 2
18/02/2013
2
Exemplo de Matriz
• Ao coletarmos dados de peso, altura e idade de algumas
pessoas, os mesmos podem ser dispostos como a seguir:
• Se extrairmos os dados da tabela, formamos uma matriz com os
mesmos.
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 3
Exemplo de Matriz
• Assim, se quisermos saber o peso da pessoa 2, por exemplo,
devemos recorrer ao elemento da segunda linha e segunda
coluna da Matriz.
• Se quisermos saber a altura da pessoa 4, devemos recorrer ao
elemento da quarta linha e primeira coluna da Matriz.
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 4
18/02/2013
3
Notação Básica de uma Matriz
• Uma matriz “A” é definida por “m” linhas e “n” colunas de modo que seus
elementos “a” ocupam posições “i” em cada linha e “j” em cada coluna da
mesma.
• Assim, uma matriz é descrita matematicamente na forma Amxn, contendo
diversos elementos aij onde 1≤ i ≤ n e 1≤ i ≤ m. Outra notação comum é A
= (aij)mxn.
• Se desenharmos esta matriz “genérica” teremos:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 5
Observe que o
elemento da última
coluna e última
linha possui
índices m e n!
Exemplos Numéricos
• Dimensões de Matrizes
– Matriz 2 x 3
– Matriz 2 x 2
• Posicionamento de
elementos de uma matriz
A3x3
a11 = 2
a12 = -1
a21 = 4
a33 = -2
e assim por diante...
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 6
18/02/2013
4
Exemplo de Construção
• Construa a matriz A3x3 de elementos aij, sendo que aij = 3i+j.
• Solução: Cada elemento “a” é determinado pelos valores de i e j
da posição deste elemento. Assim, por exemplo, a11 = 3*1+1 =
4. Assim, montamos a matriz:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 7











121110
987
654
33xA
Tipos de Matrizes
• As matrizes podem ser classificadas de
diversas maneiras quanto ao seu
tamanho, natureza de seus elementos e
propriedades.
• A seguir, veremos alguns exemplos de
tipos particulares de matrizes.
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 8
18/02/2013
5
Matriz Linha e Matriz Coluna
• Matriz linha é aquela
formada por apenas uma
linha, ou seja, A1xn
• Exemplo:
• A Matriz coluna é formada 
por apenas uma coluna, ou 
seja, Amx1
• Exemplo:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 9
 
 3721
052
41
31


x
x
B
A

















1
2
3
7
4
15xB 






3
2
12xA











21647
341
245114
33xB
Matriz Quadrada
• Uma matriz é denominada quadrada quando possui a mesma
quantidade de linhas e colunas, ou seja, m = n. Assim, a matriz
é descrita como Anxn.
• Este tipo de matriz (apenas este!) possuem elementos em suas
diagonais que descrevem sua diagonal principal e diagonal
secundária.
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 10







68
42
22 xA
Diagonal
Principal Diagonal
Principal
Diagonal
Secundária Diagonal
Secundária
18/02/2013
6
Matriz Oposta
• A matriz oposta de A é a matriz obtida
trocando-se o sinal de todos os seus
elementos, ou seja, a oposta de A é –A.
• Exemplo:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 11
Matriz Nula
• Uma matriz é nula quando todos seus 
elementos são iguais a zero.
• Exemplo:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 12

















00000
00000
00000
00000
00000
55xB











000
000
000
33xA
18/02/2013
7
Matriz Diagonal e Matriz 
Identidade
• Uma matriz é denominada
diagonal quando apenas os
elementos de sua diagonal
principal são diferentes de zero.
• Exemplos:
• Quando uma matriz diagonal
possui elementos não-nulos iguals
a 1, a denominamos matriz
identidade. A notação para esta
matriz é In.
• Exemplos
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 13




















4000
03100
0020
00018
50
03
44
22
x
x
B
A




















1000
0100
0010
0001
10
01
4
2
I
I
Matriz Transposta
• A partir de uma matriz Amxn, obtemos sua matriz transposta Atnxm
pela troca ordenada de suas linhas por suas colunas.
• Exemplos:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 14































42
31
43
21
423
201
42
20
31
2222
3223
t
xx
t
xx
BB
AA
18/02/2013
8
Igualdade entre Matrizes
• Duas matrizes são iguais se, e somente se, ambas forem de
mesma ordem e seus elementos forem iguais.
• Exemplos:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 15
Matrizes simétricas e anti-
simétricas
• Matrizes simétricas são
matrizes quadradas iguais à
sua transposta, ou seja, A =
At.
• Exemplo:
• Matrizes anti-simétricas são 
matrizes quadradas iguais à 
sua transposta negativa, ou 
seja, A = -At.
• Exemplo:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 16













501
023
134
tAA












064
603
430
tAA
18/02/2013
9
Operações com Matrizes
• Para resolver problemas matemáticos
de nosso cotidiano, realizamos
operações com matrizes para manipular
uma certa quantidade de dados.
• Estas operações podem ser adição,
subtração, multiplicação por escalar e
multiplicação entre matrizes.
• Veremos, a seguir alguns exemplos.
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 17
Exemplo Soma de Matrizes
• Considere as tabelas de produção de grãos por região para dois
anos consecutivos:
• Se transformarmos cada tabela em uma matriz, teremos:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 18
18/02/2013
10
Exemplo Soma de Matrizes
• O que faremos se quisermos saber a produção de grãos por
região para os dois anos?
• Neste caso, efetuamos a soma das matrizes de cada ano,
obtendo uma nova matriz para ambos os anos!
• Assim, como resultado para dois anos , montamos a seguinte
tabela:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 19
Soma e Subtração de 
Matrizes
• A soma ou subtração de matrizes é feita somando-se ou
subtraindo-se todos os elementos das mesmas posições de
ambas as matrizes. A operação de subtração pode ser
interpretada como a soma pela matriz oposta (ver exemplo).
• Estas operações só são possíveis em matrizes de mesma
ordem.
• Exemplos:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 20
18/02/2013
11
Exemplo de Multiplicação de 
Matrizes por um Escalar
• Voltemos à produção de grãos por região. Vejamos a seguinte
tabela de dados de produção no primeiro ano e sua respectiva
matriz:
• Devido ao excelente clima e às novas técnicas de plantio,
sabemos que a previsão de produção de grãos no terceiro ano
será o triplo do obtido no primeiro ano!
• Assim, como determinaremos a previsão de produção para o
terceiro ano?
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 21
Exemplo de Multiplicação de 
Matrizes por um Escalar
• Como a produção do terceiro ano será o triplo da obtida no
primeiro ano, devemos multiplicar a matriz do primeiro ano por
um escalar 3, assim temos:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 22
18/02/2013
12
Multiplicação por um escalar
• A multiplicação de uma matriz Amxn por um escalar “c” resulta em
uma nova matriz c.Amxn ondetodos os elementos da matriz
original são multiplicados por “c”.
• Exemplo:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 23
Exemplo de multiplicação de 
matrizes
• Uma salgadeira fabrica três tipos de salgados, usando
ingredientes conforme tabela abaixo:
• A tabela a seguir apresenta os preços dos ingredientes:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 24
ovos farinha açúcar carne 
Pastéis 3 6 1 3 
Empadas 4 4 2 2 
Kibes 1 1 1 6
Ingredientes Preço Base(R$) 
ovos 0,20 
farinha 0,30 
açúcar 0,50 
carne 0,80
18/02/2013
13
Exemplo de multiplicação de 
matrizes
• Como faremos para determinar o preço base de cada salgado?
• Para isto, faremos a multiplicação das matrizes ingredientes x
preços dos ingredientes (retiradas das tabelas), obtendo uma
matriz com o preço de cada salgado.
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 25


































80,5
60,4
30,5
80,0
50,0
30,0
20,0
6111
2244
3163 Salgado Preço Base(R$) 
Pastéis 5,30
Empadas 4,60
Kibes 5,80
Multiplicação de Matrizes
• O produto entre duas matrizes é uma matriz formada
multiplicando-se ordenadamente as linhas da matriz A pelas
colunas da matriz B. Observe o exemplo abaixo:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 26







2221
1211
aa
aa
A 






2221
1211
bb
bb
B









)()(
)()(
.
2222122121221121
2212121121121111
babababa
babababa
BAC
18/02/2013
14
Multiplicação de Matrizes
• Sendo assim, o número de colunas de A deve ser igual ao
número de linhas de B. Assim, o produto C = A.B será uma
matriz com o mesmo número de linhas de A e o mesmo número
de colunas de B.
• Um exemplo numérico para melhor entendimento:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 27
mxnpxnmxp CBA .
Matriz Inversa
• Considerando-se A uma matriz quadrada, denominamos A-1 a
matriz inversa de A de modo a satisfazer a seguinte relação
onde In é a matriz identidade de mesma ordem de A e A-1.
• Na prática, para determinarmos a inversa de A, ou seja, A-1,
criamos uma matriz A-1 com variáveis em seus elementos e
efetuamos a multiplicação de A por A-1, gerando um sistema de
equações.
• Observe que toda matriz inversível é quadrada (lembrando que
toda matriz identidade é quadrada também!). Mas nem toda
matriz quadrada é inversível.
• A seguir veremos um exemplo numérico.
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 28
nnxnnxnnxnnxn IAAAA 
 11 ..
18/02/2013
15
Matriz Inversa
• Calcule A-1 para a seguinte matriz A:
• Criamos A-1 com as variáveis e efet uamos a operação A.A-1=In
• Com o resultado da multiplicação, obtemos um sistema que
após ser resolvido nos dará os valores das variáveis e, portanto,
o resultado A-1.
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 29







43
21
A



















10
01
.
43
21
. 1
dc
ba
IAA n


























10
01
4343
22
.
43
21
dbca
cbca
dc
ba
Matriz Inversa
• Assim, montamos um sistema que pode ser resolvido facilmente
obtendo-se os valores das variáveis a, b, c e d, formando a
matriz inversa A-1.
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 30
2
1;
2
3;1;2
143
02
043
12












dcba
db
db
ca
ca











2
1
2
3
12
1A