Aulas de Calculo I

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Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Implicita
Jairo Menezes e Souza
UFG/CAC
11/06/2013
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
As func¸o˜es que estudamos ate´ agora foram func¸o˜es dadas
explicitamente por uma varia´vel em func¸a˜o de outra. Por exemplo.
y =
√
x2 + 1 ou y = ex sin x
Podemos ter func¸o˜es implicitas em equac¸o˜es envolvendo duas
varia´veis. Como
x2 + y2 = 1 (1)
ou
(x2 + y2)2 − 3x2y − y3 = 0 (2)
Em certos casos podemos isolar y em func¸a˜o ”expl´ıcita“ de x . Por
exemplo x2 + y2 = 1⇒ y = ±√1− x2. Neste caso temos duas
func¸o˜es, y =
√
1− x2 e y = −√1− x2.
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
As func¸o˜es que estudamos ate´ agora foram func¸o˜es dadas
explicitamente por uma varia´vel em func¸a˜o de outra. Por exemplo.
y =
√
x2 + 1 ou y = ex sin x
Podemos ter func¸o˜es implicitas em equac¸o˜es envolvendo duas
varia´veis. Como
x2 + y2 = 1 (1)
ou
(x2 + y2)2 − 3x2y − y3 = 0 (2)
Em certos casos podemos isolar y em func¸a˜o ”expl´ıcita“ de x . Por
exemplo x2 + y2 = 1⇒ y = ±√1− x2. Neste caso temos duas
func¸o˜es, y =
√
1− x2 e y = −√1− x2.
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
As func¸o˜es que estudamos ate´ agora foram func¸o˜es dadas
explicitamente por uma varia´vel em func¸a˜o de outra. Por exemplo.
y =
√
x2 + 1 ou y = ex sin x
Podemos ter func¸o˜es implicitas em equac¸o˜es envolvendo duas
varia´veis. Como
x2 + y2 = 1 (1)
ou
(x2 + y2)2 − 3x2y − y3 = 0 (2)
Em certos casos podemos isolar y em func¸a˜o ”expl´ıcita“ de x . Por
exemplo x2 + y2 = 1⇒ y = ±√1− x2. Neste caso temos duas
func¸o˜es, y =
√
1− x2 e y = −√1− x2.
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
As func¸o˜es que estudamos ate´ agora foram func¸o˜es dadas
explicitamente por uma varia´vel em func¸a˜o de outra. Por exemplo.
y =
√
x2 + 1 ou y = ex sin x
Podemos ter func¸o˜es implicitas em equac¸o˜es envolvendo duas
varia´veis. Como
x2 + y2 = 1 (1)
ou
(x2 + y2)2 − 3x2y − y3 = 0 (2)
Em certos casos podemos isolar y em func¸a˜o ”expl´ıcita“ de x . Por
exemplo x2 + y2 = 1⇒ y = ±√1− x2. Neste caso temos duas
func¸o˜es, y =
√
1− x2 e y = −√1− x2.
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Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
As func¸o˜es que estudamos ate´ agora foram func¸o˜es dadas
explicitamente por uma varia´vel em func¸a˜o de outra. Por exemplo.
y =
√
x2 + 1 ou y = ex sin x
Podemos ter func¸o˜es implicitas em equac¸o˜es envolvendo duas
varia´veis. Como
x2 + y2 = 1 (1)
ou
(x2 + y2)2 − 3x2y − y3 = 0 (2)
Em certos casos podemos isolar y em func¸a˜o ”expl´ıcita“ de x . Por
exemplo x2 + y2 = 1⇒ y = ±√1− x2. Neste caso temos duas
func¸o˜es, y =
√
1− x2 e y = −√1− x2.
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Derivada Da Func¸a˜o Inversa
x
y
1
1
x2 + y2 = 1
x
y
1
1
y =
√
1− x2
x
y
1
−1
y = −√1− x2
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Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
No caso da equac¸a˜o 2 na˜o e´ fa´cil isolar y em func¸a˜o de X . Em
casos assim dizemos que uma func¸a˜o y = f (x) e´ dada
implicitamente pela equac¸a˜o 2 se
(x2 + [f (x)]2)2 + 3x2f (x)− [f (x)]3 = 0 para x no dom´ınio de f .
Definic¸a˜o
A func¸a˜o y = f (x) e´ dada implicitamente pela equac¸a˜o
G (x , y) = k , onde k e´ uma costante, se
G (x , f (x)) = k
para todo x no dom´ınio de f .
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Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
No caso da equac¸a˜o 2 na˜o e´ fa´cil isolar y em func¸a˜o de X . Em
casos assim dizemos que uma func¸a˜o y = f (x) e´ dada
implicitamente pela equac¸a˜o 2 se
(x2 + [f (x)]2)2 + 3x2f (x)− [f (x)]3 = 0 para x no dom´ınio de f .
Definic¸a˜o
A func¸a˜o y = f (x) e´ dada implicitamente pela equac¸a˜o
G (x , y) = k , onde k e´ uma costante, se
G (x , f (x)) = k
para todo x no dom´ınio de f .
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Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Figura : (x2 + y2)2 − 3x2y − y3 = 0
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Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivac¸a˜o Implicita
Derivamos uma func¸a˜o dada implicitamente pela equac¸a˜o
G (x , y) = k , derivando dos dois lados com relac¸a˜o a x . Devemos
lembrar que y = y(x) e´ uma func¸a˜o de x e usarmos a regra da
cadeia.
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Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Exemplo
Vamos derivar as func¸o˜es dadas implicitamente por x2 + y2 = 1.
d
dx
(x2 + y2) =
d
dx
(1)⇒ d
dx
(x2) +
d
dx
(y2) = 0
⇒ 2x + 2y dy
dx
= 0⇒ dy
dx
=
−2x
2y
= −x
y
Exemplo
Se tomarmos a func¸a˜o y =
√
1− x2 enta˜o temos que
dy
dx
= −x
y
= − x√
1− x2
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Exemplo
Vamos derivar as func¸o˜es dadas implicitamente por x2 + y2 = 1.
d
dx
(x2 + y2) =
d
dx
(1)
⇒ d
dx
(x2) +
d
dx
(y2) = 0
⇒ 2x + 2y dy
dx
= 0⇒ dy
dx
=
−2x
2y
= −x
y
Exemplo
Se tomarmos a func¸a˜o y =
√
1− x2 enta˜o temos que
dy
dx
= −x
y
= − x√
1− x2
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Exemplo
Vamos derivar as func¸o˜es dadas implicitamente por x2 + y2 = 1.
d
dx
(x2 + y2) =
d
dx
(1)⇒ d
dx
(x2) +
d
dx
(y2) = 0
⇒ 2x + 2y dy
dx
= 0⇒ dy
dx
=
−2x
2y
= −x
y
Exemplo
Se tomarmos a func¸a˜o y =
√
1− x2 enta˜o temos que
dy
dx
= −x
y
= − x√
1− x2
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Exemplo
Vamos derivar as func¸o˜es dadas implicitamente por x2 + y2 = 1.
d
dx
(x2 + y2) =
d
dx
(1)⇒ d
dx
(x2) +
d
dx
(y2) = 0
⇒ 2x + 2y dy
dx
= 0
⇒ dy
dx
=
−2x
2y
= −x
y
Exemplo
Se tomarmos a func¸a˜o y =
√
1− x2 enta˜o temos que
dy
dx
= −x
y
= − x√
1− x2
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Exemplo
Vamos derivar as func¸o˜es dadas implicitamente por x2 + y2 = 1.
d
dx
(x2 + y2) =
d
dx
(1)⇒ d
dx
(x2) +
d
dx
(y2) = 0
⇒ 2x + 2y dy
dx
= 0⇒ dy
dx
=
−2x
2y
= −x
y
Exemplo
Se tomarmos a func¸a˜o y =
√
1− x2 enta˜o temos que
dy
dx
= −x
y
= − x√
1− x2
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Exemplo
Vamos derivar as func¸o˜es dadas implicitamente por x2 + y2 = 1.
d
dx
(x2 + y2) =
d
dx
(1)⇒ d
dx
(x2) +
d
dx
(y2) = 0
⇒ 2x + 2y dy
dx
= 0⇒ dy
dx
=
−2x
2y
= −x
y
Exemplo
Se tomarmos a func¸a˜o y =
√
1− x2 enta˜o temos que
dy
dx
= −x
y
= − x√
1− x2
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Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Exemplo
Agora poder´ıamos ter derivado a func¸a˜o expl´ıcita
y =
√
1− x2.
Assim,
dy
dx
= (−2x) ·
(
1
2
√
1− x2
)
= − x√
1− x2
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Exemplo
Agora poder´ıamos ter derivado a func¸a˜o expl´ıcita
y =
√
1− x2.Assim,
dy
dx
= (−2x) ·
(
1
2
√
1− x2
)
= − x√
1− x2
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Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Exemplo
Ache a equac¸a˜o da reta tangente a` curva
(x2 + y2)2 + 3x2y − y3 = 0 no ponto (0, 1)Derivando
implicitamente temos
d
dx
((x2 + y2)2 + 3x2y − y3) = 0
⇒ d
dx
((x2 + y2)2) +
d
dx
(3x2y) +
d
dx
(−y3) = 0
⇒ 2(x2 + y2)(2x + 2y dy
dx
) + 6xy + (3x2)(
dy
dx
)− 3y2 dy
dx
= 0
⇒ 4x3 + 4x2y dy
dx
+ 4xy2 + 4y3
dy
dx
+ 6xy + 3x2
dy
dx
− 3y2 dy
dx
= 0
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Exemplo
Ache a equac¸a˜o da reta tangente a` curva
(x2 + y2)2 + 3x2y − y3 = 0 no ponto (0, 1) Derivando
implicitamente temos
d
dx
((x2 + y2)2 + 3x2y − y3) = 0
⇒ d
dx
((x2 + y2)2) +
d
dx
(3x2y) +
d
dx
(−y3) = 0
⇒ 2(x2 + y2)(2x + 2y dy
dx
) + 6xy + (3x2)(
dy
dx
)− 3y2 dy
dx
= 0
⇒ 4x3 + 4x2y dy
dx
+ 4xy2 + 4y3
dy
dx
+ 6xy + 3x2
dy
dx
− 3y2 dy
dx
= 0
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Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Exemplo
Ache a equac¸a˜o da reta tangente a` curva
(x2 + y2)2 + 3x2y − y3 = 0 no ponto (0, 1) Derivando
implicitamente temos
d
dx
((x2 + y2)2 + 3x2y − y3) = 0
⇒ d
dx
((x2 + y2)2) +
d
dx
(3x2y) +
d
dx
(−y3) = 0
⇒ 2(x2 + y2)(2x + 2y dy
dx
) + 6xy + (3x2)(
dy
dx
)− 3y2 dy
dx
= 0
⇒ 4x3 + 4x2y dy
dx
+ 4xy2 + 4y3
dy
dx
+ 6xy + 3x2
dy
dx
− 3y2 dy
dx
= 0
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Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Exemplo
Ache a equac¸a˜o da reta tangente a` curva
(x2 + y2)2 + 3x2y − y3 = 0 no ponto (0, 1) Derivando
implicitamente temos
d
dx
((x2 + y2)2 + 3x2y − y3) = 0
⇒ d
dx
((x2 + y2)2) +
d
dx
(3x2y) +
d
dx
(−y3) = 0
⇒ 2(x2 + y2)(2x + 2y dy
dx
) + 6xy + (3x2)(
dy
dx
)− 3y2 dy
dx
= 0
⇒ 4x3 + 4x2y dy
dx
+ 4xy2 + 4y3
dy
dx
+ 6xy + 3x2
dy
dx
− 3y2 dy
dx
= 0
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
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Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Exemplo
Ache a equac¸a˜o da reta tangente a` curva
(x2 + y2)2 + 3x2y − y3 = 0 no ponto (0, 1) Derivando
implicitamente temos
d
dx
((x2 + y2)2 + 3x2y − y3) = 0
⇒ d
dx
((x2 + y2)2) +
d
dx
(3x2y) +
d
dx
(−y3) = 0
⇒ 2(x2 + y2)(2x + 2y dy
dx
) + 6xy + (3x2)(
dy
dx
)− 3y2 dy
dx
= 0
⇒ 4x3 + 4x2y dy
dx
+ 4xy2 + 4y3
dy
dx
+ 6xy + 3x2
dy
dx
− 3y2 dy
dx
= 0
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Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Exemplo
Ache a equac¸a˜o da reta tangente a` curva
(x2 + y2)2 + 3x2y − y3 = 0 no ponto (0, 1) Derivando
implicitamente temos
d
dx
((x2 + y2)2 + 3x2y − y3) = 0
⇒ d
dx
((x2 + y2)2) +
d
dx
(3x2y) +
d
dx
(−y3) = 0
⇒ 2(x2 + y2)(2x + 2y dy
dx
) + 6xy + (3x2)(
dy
dx
)− 3y2 dy
dx
= 0
⇒ 4x3 + 4x2y dy
dx
+ 4xy2 + 4y3
dy
dx
+ 6xy + 3x2
dy
dx
− 3y2 dy
dx
= 0
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Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Exemplo
⇒ (4x2y + 4xy2 + 3x2 − 3y2)dy
dx
= −4x3 − 4xy2 − 6xy
⇒ dy
dx
= − 4x
3 + 4xy2 − 6xy
4x2y + 4xy2 + 3x2 − 3y2
Aplicando no ponto (0, 1) demos que dydx (x=0,y=1) =
0
−3 = 0. Da´ı a
reta tangente e´
y = 1
A vantagem da derivac¸a˜o implicita e´ que derivamos uma func¸a˜o
que na˜o conhecemos. A desvantagem e´ que a derivada dydx vem em
func¸a˜o de x e y e na˜o so´ em func¸a˜o de x como na derivac¸a˜o
expl´ıcita.
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Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Exemplo
⇒ (4x2y + 4xy2 + 3x2 − 3y2)dy
dx
= −4x3 − 4xy2 − 6xy
⇒ dy
dx
= − 4x
3 + 4xy2 − 6xy
4x2y + 4xy2 + 3x2 − 3y2
Aplicando no ponto (0, 1) demos que dydx (x=0,y=1) =
0
−3 = 0. Da´ı a
reta tangente e´
y = 1
A vantagem da derivac¸a˜o implicita e´ que derivamos uma func¸a˜o
que na˜o conhecemos. A desvantagem e´ que a derivada dydx vem em
func¸a˜o de x e y e na˜o so´ em func¸a˜o de x como na derivac¸a˜o
expl´ıcita.
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Exemplo
⇒ (4x2y + 4xy2 + 3x2 − 3y2)dy
dx
= −4x3 − 4xy2 − 6xy
⇒ dy
dx
= − 4x
3 + 4xy2 − 6xy
4x2y + 4xy2 + 3x2 − 3y2
Aplicando no ponto (0, 1) demos que dydx (x=0,y=1) =
0
−3 = 0. Da´ı a
reta tangente e´
y = 1
A vantagem da derivac¸a˜o implicita e´ que derivamos uma func¸a˜o
que na˜o conhecemos. A desvantagem e´ que a derivada dydx vem em
func¸a˜o de x e y e na˜o so´ em func¸a˜o de x como na derivac¸a˜o
expl´ıcita.
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Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Exemplo
⇒ (4x2y + 4xy2 + 3x2 − 3y2)dy
dx
= −4x3 − 4xy2 − 6xy
⇒ dy
dx
= − 4x
3 + 4xy2 − 6xy
4x2y + 4xy2 + 3x2 − 3y2
Aplicando no ponto (0, 1) demos que dydx (x=0,y=1) =
0
−3 = 0. Da´ı a
reta tangente e´
y = 1
A vantagem da derivac¸a˜o implicita e´ que derivamos uma func¸a˜o
que na˜o conhecemos. A desvantagem e´ que a derivada dydx vem em
func¸a˜o de x e y e na˜o so´ em func¸a˜o de x como na derivac¸a˜o
expl´ıcita.
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Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Exemplo
Encontre y ′ se sin (x + y) = y2 cos x
d
dx
(sin (x + y)) =
d
dx
(y2 cos x)
⇒ cos (x + y) ·
(
1 +
dy
dx
)
= 2y · dy
dx
· cos x − y2 · sin x
⇒ cos (x + y)dy
dx
− 2y cos x dy
dx
= −y2 sin x − cos (x + y)
⇒ dy
dx
= − y
2 sin x + cos (x + y)
cos (x + y)− 2y cos x
⇒ dy
dx
=
y2 sin x + cos (x + y)
2y cos x − cos (x + y)
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Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Exemplo
Encontre y ′ se sin (x + y) = y2 cos x
d
dx
(sin (x + y)) =
d
dx
(y2 cos x)
⇒ cos (x + y) ·
(
1 +
dy
dx
)
= 2y · dy
dx
· cos x − y2 · sin x
⇒ cos (x + y)dy
dx
− 2y cos x dy
dx
= −y2 sin x − cos (x + y)
⇒ dy
dx
= − y
2 sin x + cos (x + y)
cos (x + y)− 2y cos x
⇒ dy
dx
=
y2 sin x + cos (x + y)
2y cos x − cos (x + y)
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Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Exemplo
Encontre y ′ se sin (x + y) = y2 cos x
d
dx
(sin (x + y)) =
d
dx
(y2 cos x)
⇒ cos (x + y) ·
(
1 +
dy
dx
)
= 2y · dy
dx
· cos x − y2 · sin x
⇒ cos (x + y)dy
dx
− 2y cos x dy
dx
= −y2 sin x − cos (x + y)
⇒ dy
dx
= − y
2 sin x + cos (x + y)
cos (x + y)− 2y cos x
⇒ dy
dx
=
y2 sin x + cos (x + y)
2y cos x − cos (x + y)
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Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Exemplo
Encontre y ′ se sin (x + y) = y2 cos x
d
dx
(sin (x + y)) =
d
dx
(y2 cos x)
⇒ cos (x + y) ·
(
1 +
dy
dx
)
= 2y · dy
dx
· cos x − y2 · sin x
⇒ cos (x + y)dy
dx
− 2y cos x dy
dx
= −y2 sin x − cos (x + y)
⇒ dy
dx
= − y
2 sin x + cos (x + y)
cos (x + y)− 2y cos x
⇒ dy
dx
=
y2 sin x + cos (x + y)
2y cos x − cos (x + y)
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Exemplo
Encontre y ′ se sin (x + y) = y2 cos x
d
dx
(sin (x + y)) =
d
dx
(y2 cos x)
⇒ cos (x + y) ·
(
1 +
dy
dx
)
= 2y · dy
dx
· cos x − y2 · sin x
⇒ cos (x + y)dy
dx
− 2y cos x dy
dx
= −y2 sin x − cos (x + y)
⇒ dy
dx
= − y
2 sin x + cos (x + y)
cos (x + y)− 2y cos x
⇒ dy
dx
=
y2 sin x + cos (x + y)
2y cos x − cos (x + y)
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Exemplo
Encontre y ′ se sin (x + y) = y2 cos x
d
dx
(sin (x + y)) =
d
dx
(y2 cos x)
⇒ cos (x + y) ·
(
1 +
dy
dx
)
= 2y · dy
dx
· cos x − y2 · sin x
⇒ cos (x + y)dy
dx
− 2y cos x dy
dx
= −y2 sin x − cos (x + y)
⇒ dy
dx
= − y
2 sin x +cos (x + y)
cos (x + y)− 2y cos x
⇒ dy
dx
=
y2 sin x + cos (x + y)
2y cos x − cos (x + y)
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Figura : sin (x + y) = y2 cos x
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Exemplo
Encontre y ′′ se x4 + y4 = 16
Derivando implicitamente temos que
d
dx
(x4 + y4) =
d
dx
(16)⇒ 4x3 + 4y3 · dy
dx
= 0
dy
dx
= −4x
3
4y3
= −x
3
y3
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Exemplo
Encontre y ′′ se x4 + y4 = 16
Derivando implicitamente temos que
d
dx
(x4 + y4) =
d
dx
(16)⇒ 4x3 + 4y3 · dy
dx
= 0
dy
dx
= −4x
3
4y3
= −x
3
y3
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Exemplo
Encontre y ′′ se x4 + y4 = 16
Derivando implicitamente temos que
d
dx
(x4 + y4) =
d
dx
(16)⇒ 4x3 + 4y3 · dy
dx
= 0
dy
dx
= −4x
3
4y3
= −x
3
y3
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Exemplo
Encontre y ′′ se x4 + y4 = 16
Derivando implicitamente temos que
d
dx
(x4 + y4) =
d
dx
(16)⇒ 4x3 + 4y3 · dy
dx
= 0
dy
dx
= −4x
3
4y3
= −x
3
y3
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Usamos a regra do quociente para achar a segunda derivada.
Devemos continuar lembrando que y = y(x) e´ func¸a˜o de x .
d2y
dx2
= −(3x
2) · (y3)− (x3) · (3y2) · dydx
[y3]2
d2y
dx2
=
3x3y2 dydx − 3x2y3
y6
Note que y ′′ esta´ em func¸a˜o de x , y e y ′.
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Usamos a regra do quociente para achar a segunda derivada.
Devemos continuar lembrando que y = y(x) e´ func¸a˜o de x .
d2y
dx2
= −(3x
2) · (y3)− (x3) · (3y2) · dydx
[y3]2
d2y
dx2
=
3x3y2 dydx − 3x2y3
y6
Note que y ′′ esta´ em func¸a˜o de x , y e y ′.
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Usamos a regra do quociente para achar a segunda derivada.
Devemos continuar lembrando que y = y(x) e´ func¸a˜o de x .
d2y
dx2
= −(3x
2) · (y3)− (x3) · (3y2) · dydx
[y3]2
d2y
dx2
=
3x3y2 dydx − 3x2y3
y6
Note que y ′′ esta´ em func¸a˜o de x , y e y ′.
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Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Figura : x4 + y4 = 16
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Se f (x) e´ uma func¸a˜o injetora temos que exite a func¸a˜o inversa
f −1(x). Se f e´ diferencia´vel temos que f −1 tambe´m e´
diferencia´vel.
Vamos aplicar derivac¸a˜o impl´ıcita (regra da cadeia) na relac¸a˜o
f (f −1(x)) = x temos
dy
dx
(f (f −1(x))) =
dy
dx
(x)⇒ f ′(f −1(x)) · (f −1)′(x) = 1
⇒ (f −1)′(x) = 1
f ′(f −1(x))
(f −1)′(x) =
1
f ′(f −1(x))
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Se f (x) e´ uma func¸a˜o injetora temos que exite a func¸a˜o inversa
f −1(x). Se f e´ diferencia´vel temos que f −1 tambe´m e´
diferencia´vel.
Vamos aplicar derivac¸a˜o impl´ıcita (regra da cadeia) na relac¸a˜o
f (f −1(x)) = x temos
dy
dx
(f (f −1(x))) =
dy
dx
(x)⇒ f ′(f −1(x)) · (f −1)′(x) = 1
⇒ (f −1)′(x) = 1
f ′(f −1(x))
(f −1)′(x) =
1
f ′(f −1(x))
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Se f (x) e´ uma func¸a˜o injetora temos que exite a func¸a˜o inversa
f −1(x). Se f e´ diferencia´vel temos que f −1 tambe´m e´
diferencia´vel.
Vamos aplicar derivac¸a˜o impl´ıcita (regra da cadeia) na relac¸a˜o
f (f −1(x)) = x temos
dy
dx
(f (f −1(x))) =
dy
dx
(x)
⇒ f ′(f −1(x)) · (f −1)′(x) = 1
⇒ (f −1)′(x) = 1
f ′(f −1(x))
(f −1)′(x) =
1
f ′(f −1(x))
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Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Se f (x) e´ uma func¸a˜o injetora temos que exite a func¸a˜o inversa
f −1(x). Se f e´ diferencia´vel temos que f −1 tambe´m e´
diferencia´vel.
Vamos aplicar derivac¸a˜o impl´ıcita (regra da cadeia) na relac¸a˜o
f (f −1(x)) = x temos
dy
dx
(f (f −1(x))) =
dy
dx
(x)⇒ f ′(f −1(x)) · (f −1)′(x) = 1
⇒ (f −1)′(x) = 1
f ′(f −1(x))
(f −1)′(x) =
1
f ′(f −1(x))
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Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Se f (x) e´ uma func¸a˜o injetora temos que exite a func¸a˜o inversa
f −1(x). Se f e´ diferencia´vel temos que f −1 tambe´m e´
diferencia´vel.
Vamos aplicar derivac¸a˜o impl´ıcita (regra da cadeia) na relac¸a˜o
f (f −1(x)) = x temos
dy
dx
(f (f −1(x))) =
dy
dx
(x)⇒ f ′(f −1(x)) · (f −1)′(x) = 1
⇒ (f −1)′(x) = 1
f ′(f −1(x))
(f −1)′(x) =
1
f ′(f −1(x))
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Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Derivada da Func¸a˜o Inversa
Se f (x) e´ uma func¸a˜o injetora temos que exite a func¸a˜o inversa
f −1(x). Se f e´ diferencia´vel temos que f −1 tambe´m e´
diferencia´vel.
Vamos aplicar derivac¸a˜o impl´ıcita (regra da cadeia) na relac¸a˜o
f (f −1(x)) = x temos
dy
dx
(f (f −1(x))) =
dy
dx
(x)⇒ f ′(f −1(x)) · (f −1)′(x) = 1
⇒ (f −1)′(x) = 1
f ′(f −1(x))
(f −1)′(x) =
1
f ′(f −1(x))
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Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Derivada do arcseno
Temos que (f −1)′(x) = 1
f ′(f −1(x)) . Enta˜o
d
dx
(arcsin x) =
1
sin′ (arcsin x)
=
1
cos (arcsin x)
Agora se y = arcsin x , enta˜o
cos y =
√
1− sin2 y =
√
1− [sin (arcsin x)]2 =
√
1− x2
Portanto
d
dx
(arcsin x) =
1√
1− x2
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Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Derivada do arcseno
Temos que (f −1)′(x) = 1
f ′(f −1(x)) . Enta˜o
d
dx
(arcsin x) =
1
sin′ (arcsin x)
=
1
cos (arcsin x)
Agora se y = arcsin x , enta˜o
cos y =
√
1− sin2 y =
√
1− [sin (arcsin x)]2 =
√
1− x2
Portanto
d
dx
(arcsin x) =
1√
1− x2
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Derivada do arcseno
Temos que (f −1)′(x) = 1
f ′(f −1(x)) . Enta˜o
d
dx
(arcsin x) =
1
sin′ (arcsin x)
=
1
cos (arcsin x)
Agora se y = arcsin x , enta˜o
cos y =
√
1− sin2 y =
√
1− [sin (arcsin x)]2 =
√
1− x2
Portanto
d
dx
(arcsin x) =
1√
1− x2
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
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Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Derivada do arcseno
Temos que (f −1)′(x) = 1
f ′(f −1(x)) . Enta˜o
d
dx
(arcsin x) =
1
sin′ (arcsin x)
=
1
cos (arcsin x)
Agora se y = arcsin x , enta˜o
cos y =
√
1− sin2 y =
√
1− [sin (arcsin x)]2 =
√
1− x2
Portanto
d
dx
(arcsin x) =
1√
1− x2
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Derivac¸a˜oImplicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Derivada do arcseno
Temos que (f −1)′(x) = 1
f ′(f −1(x)) . Enta˜o
d
dx
(arcsin x) =
1
sin′ (arcsin x)
=
1
cos (arcsin x)
Agora se y = arcsin x , enta˜o
cos y =
√
1− sin2 y =
√
1− [sin (arcsin x)]2 =
√
1− x2
Portanto
d
dx
(arcsin x) =
1√
1− x2
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Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
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Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Para na˜o precisar de decorar a “fo´rmula” para a derivada da
inversa, podemos usar a derivac¸a˜o impl´ıcita e a regra da cadeia.
sin (arcsin x) = x ⇒ d
dx
(sin (arcsin x)) =
d
dx
(x)
⇒ cos (arcsin x) · d
dx
(arcsin x) = 1
⇒ d
dx
(arcsin x) =
1
cos (arcsin x)
Como fizemos acima
d
dx
(arcsin x) =
1√
1− x2
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Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Para na˜o precisar de decorar a “fo´rmula” para a derivada da
inversa, podemos usar a derivac¸a˜o impl´ıcita e a regra da cadeia.
sin (arcsin x) = x ⇒ d
dx
(sin (arcsin x)) =
d
dx
(x)
⇒ cos (arcsin x) · d
dx
(arcsin x) = 1
⇒ d
dx
(arcsin x) =
1
cos (arcsin x)
Como fizemos acima
d
dx
(arcsin x) =
1√
1− x2
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Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Para na˜o precisar de decorar a “fo´rmula” para a derivada da
inversa, podemos usar a derivac¸a˜o impl´ıcita e a regra da cadeia.
sin (arcsin x) = x ⇒ d
dx
(sin (arcsin x)) =
d
dx
(x)
⇒ cos (arcsin x) · d
dx
(arcsin x) = 1
⇒ d
dx
(arcsin x) =
1
cos (arcsin x)
Como fizemos acima
d
dx
(arcsin x) =
1√
1− x2
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Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Para na˜o precisar de decorar a “fo´rmula” para a derivada da
inversa, podemos usar a derivac¸a˜o impl´ıcita e a regra da cadeia.
sin (arcsin x) = x ⇒ d
dx
(sin (arcsin x)) =
d
dx
(x)
⇒ cos (arcsin x) · d
dx
(arcsin x) = 1
⇒ d
dx
(arcsin x) =
1
cos (arcsin x)
Como fizemos acima
d
dx
(arcsin x) =
1√
1− x2
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Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Para na˜o precisar de decorar a “fo´rmula” para a derivada da
inversa, podemos usar a derivac¸a˜o impl´ıcita e a regra da cadeia.
sin (arcsin x) = x ⇒ d
dx
(sin (arcsin x)) =
d
dx
(x)
⇒ cos (arcsin x) · d
dx
(arcsin x) = 1
⇒ d
dx
(arcsin x) =
1
cos (arcsin x)
Como fizemos acima
d
dx
(arcsin x) =
1√
1− x2
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Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Figura : y = arcsin x y = 1√
1−x2
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Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Derivada do arccosseno
Lembrando que (f −1)′(x) = 1
f ′(f −1(x)) , temos
d
dx
(arccos x) =
1
cos′ (arccos x)
=
1
− sin (arccos x)
Agora se y = arccos x temos que
sin y =
√
1− cos2 y =
√
1− [cos (arccos x)]2 =
√
1− x2
Da´ı,
d
dx
(arccos x) = − 1√
1− x2
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Derivada do arccosseno
Lembrando que (f −1)′(x) = 1
f ′(f −1(x)) , temos
d
dx
(arccos x) =
1
cos′ (arccos x)
=
1
− sin (arccos x)
Agora se y = arccos x temos que
sin y =
√
1− cos2 y =
√
1− [cos (arccos x)]2 =
√
1− x2
Da´ı,
d
dx
(arccos x) = − 1√
1− x2
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Derivada do arccosseno
Lembrando que (f −1)′(x) = 1
f ′(f −1(x)) , temos
d
dx
(arccos x) =
1
cos′ (arccos x)
=
1
− sin (arccos x)
Agora se y = arccos x temos que
sin y =
√
1− cos2 y =
√
1− [cos (arccos x)]2 =
√
1− x2
Da´ı,
d
dx
(arccos x) = − 1√
1− x2
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Derivada do arccosseno
Lembrando que (f −1)′(x) = 1
f ′(f −1(x)) , temos
d
dx
(arccos x) =
1
cos′ (arccos x)
=
1
− sin (arccos x)
Agora se y = arccos x temos que
sin y =
√
1− cos2 y =
√
1− [cos (arccos x)]2 =
√
1− x2
Da´ı,
d
dx
(arccos x) = − 1√
1− x2
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Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Figura : y = arccos x y = − 1√
1−x2
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Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Derivada do arctangente
Usando (f −1)′(x) = 1
f ′(f −1(x)) , temos
d
dx
(arctan x) =
1
tan′ (arctan x)
=
1
sec2 (arctan x)
Agora se y = arctan x temos que, 1 + tan2 y = sec2 y . Enta˜o
sec2 y = 1 + tan2 y = 1 + tan2 (arctan x) = 1 + x2
Da´ı,
d
dx
(arctan x) =
1
1 + x2
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Derivada do arctangente
Usando (f −1)′(x) = 1
f ′(f −1(x)) , temos
d
dx
(arctan x) =
1
tan′ (arctan x)
=
1
sec2 (arctan x)
Agora se y = arctan x temos que, 1 + tan2 y = sec2 y . Enta˜o
sec2 y = 1 + tan2 y = 1 + tan2 (arctan x) = 1 + x2
Da´ı,
d
dx
(arctan x) =
1
1 + x2
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Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Derivada do arctangente
Usando (f −1)′(x) = 1
f ′(f −1(x)) , temos
d
dx
(arctan x) =
1
tan′ (arctan x)
=
1
sec2 (arctan x)
Agora se y = arctan x temos que, 1 + tan2 y = sec2 y
. Enta˜o
sec2 y = 1 + tan2 y = 1 + tan2 (arctan x) = 1 + x2
Da´ı,
d
dx
(arctan x) =
1
1 + x2
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Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Derivada do arctangente
Usando (f −1)′(x) = 1
f ′(f −1(x)) , temos
d
dx
(arctan x) =
1
tan′ (arctan x)
=
1
sec2 (arctan x)
Agora se y = arctan x temos que, 1 + tan2 y = sec2 y . Enta˜o
sec2 y = 1 + tan2 y = 1 + tan2 (arctan x) = 1 + x2
Da´ı,
d
dx
(arctan x) =
1
1 + x2
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Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Derivada do arctangente
Usando (f −1)′(x) = 1
f ′(f −1(x)) , temos
d
dx
(arctan x) =
1
tan′ (arctan x)
=
1
sec2 (arctan x)
Agora se y = arctan x temos que, 1 + tan2 y = sec2 y . Enta˜o
sec2 y = 1 + tan2 y = 1 + tan2 (arctan x) = 1 + x2
Da´ı,
d
dx
(arctan x) =
1
1 + x2
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Figura : y = arctan x y = 1√
1+x2
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Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Com os mesmoargumentos calculamos as derivadas de
arc-secante, arc-cossecante e arc-cotangente.
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Iversas
d
dx
(arccsc(x)) = − 1
x
√
x2 − 1
d
dx
(arcsec(x)) =
1
x
√
x2 − 1
d
dx
(arccot(x)) = − 1
1− x2
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Derivac¸a˜o Implicita
Derivada Da Func¸a˜o Inversa
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Com os mesmo argumentos calculamos as derivadas de
arc-secante, arc-cossecante e arc-cotangente.
Derivada Das Func¸o˜es Trigonome´tricas Iversas
d
dx
(arccsc(x)) = − 1
x
√
x2 − 1
d
dx
(arcsec(x)) =
1
x
√
x2 − 1
d
dx
(arccot(x)) = − 1
1− x2
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
	Derivação Implicita
	Derivada Da Função Inversa
	Derivada Das Funções Trigonométricas Inversas