Para resolver esse problema, vamos considerar que o bosque retangular tem um lado (que fica ao longo do riacho) com comprimento \( y \) e os outros dois lados com comprimento \( x \). 1. Perímetro: Como o riacho não precisa de cerca, a cerca será usada apenas nos outros três lados. Portanto, temos a equação do perímetro: \[ x + x + y = 500 \quad \Rightarrow \quad 2x + y = 500 \] 2. Área: A área \( A \) do retângulo é dada por: \[ A = x \cdot y \] 3. Substituindo \( y \): Da equação do perímetro, podemos expressar \( y \) em função de \( x \): \[ y = 500 - 2x \] Agora, substituímos \( y \) na fórmula da área: \[ A = x(500 - 2x) = 500x - 2x^2 \] 4. Maximizando a área: Para encontrar o valor de \( x \) que maximiza a área, derivamos \( A \) em relação a \( x \) e igualamos a zero: \[ \frac{dA}{dx} = 500 - 4x = 0 \] Resolvendo para \( x \): \[ 4x = 500 \quad \Rightarrow \quad x = 125 \] 5. Encontrando \( y \): Agora, substituímos \( x \) de volta na equação de \( y \): \[ y = 500 - 2(125) = 250 \] 6. Área máxima: Finalmente, calculamos a área máxima: \[ A = 125 \cdot 250 = 31250 \, m^2 \] Portanto, o valor de \( x \) que maximiza a área é 125 m, o valor de \( y \) é 250 m, e a área máxima que pode ser cercada é 31.250 m².