Para resolver essa questão, precisamos calcular a matriz \( M^2 \) (o produto da matriz \( M \) com ela mesma) e analisar os resultados. A matriz \( M \) dada é: \[ M=\left(\begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \] Vamos calcular \( M^2 \): \[ M^2 = M \times M \] Calculando cada elemento da matriz \( M^2 \): - Para a posição \( (1,1) \): \( 0*0 + 1*0 + 0*1 + 1*1 = 1 \) - Para a posição \( (1,2) \): \( 0*1 + 1*0 + 0*1 + 1*0 = 0 \) - Para a posição \( (1,3) \): \( 0*0 + 1*1 + 0*0 + 1*1 = 2 \) - Para a posição \( (1,4) \): \( 0*1 + 1*0 + 0*1 + 1*0 = 0 \) - Para a posição \( (2,1) \): \( 0*0 + 0*0 + 1*1 + 0*1 = 1 \) - Para a posição \( (2,2) \): \( 0*1 + 0*0 + 1*1 + 0*0 = 1 \) - Para a posição \( (2,3) \): \( 0*0 + 0*1 + 1*0 + 0*1 = 0 \) - Para a posição \( (2,4) \): \( 0*1 + 0*0 + 1*1 + 0*0 = 1 \) - Para a posição \( (3,1) \): \( 1*0 + 1*0 + 0*1 + 1*1 = 1 \) - Para a posição \( (3,2) \): \( 1*1 + 1*0 + 0*1 + 1*0 = 1 \) - Para a posição \( (3,3) \): \( 1*0 + 1*1 + 0*0 + 1*1 = 2 \) - Para a posição \( (3,4) \): \( 1*1 + 1*0 + 0*1 + 1*0 = 1 \) - Para a posição \( (4,1) \): \( 1*0 + 0*0 + 1*1 + 0*1 = 1 \) - Para a posição \( (4,2) \): \( 1*1 + 0*0 + 1*1 + 0*0 = 2 \) - Para a posição \( (4,3) \): \( 1*0 + 0*1 + 1*0 + 0*1 = 0 \) - Para a posição \( (4,4) \): \( 1*1 + 0*0 + 1*1 + 0*0 = 1 \) Assim, a matriz \( M^2 \) é: \[ M^2 = \left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \end{array}\right) \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) Existem 5 pares de pessoas diferentes \( (P_{i} \neq P_{j}) \) que não possuem conexões de grau 2. - Analisando \( M^2 \), vemos que as conexões de grau 2 são: \( (1,3), (2,1), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2) \). Portanto, essa afirmação é falsa. B) Existem 6 pares de pessoas diferentes \( (P_{i} \neq P_{j}) \) que possuem apenas uma conexão de grau 2. - Analisando \( M^2 \), temos pares com apenas uma conexão de grau 2: \( (1,3), (2,1), (2,4), (3,4), (4,1) \). Portanto, essa afirmação é falsa. C) Existem 3 pares de pessoas diferentes \( (P_{i} \neq P_{j}) \) que possuem 2 conexões de grau 2 diferentes. - Analisando \( M^2 \), temos \( (1,3), (3,2) \) e \( (3,4) \) que possuem 2 conexões de grau 2. Portanto, essa afirmação é verdadeira. D) Existem 3 pessoas que possuem conexões de grau 2 com todas as outras pessoas da rede social. - Analisando \( M^2 \), não há 3 pessoas que se conectam com todas as outras. Portanto, essa afirmação é falsa. E) Existe apenas 1 pessoa \( P_{i}(i \neq 3) \) tal que \( P_{i} \) e \( P_{3} \) seguem-se mutuamente. - Analisando a matriz original, \( P_{1} \) e \( P_{3} \) se seguem mutuamente. Portanto, essa afirmação é falsa. A alternativa correta é a C).