Calcule \(\sec x\), sabendo que \(\operatorname{sen} x=\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}}\), com \(a>b>0\).

Para calcular \(\sec x\), precisamos primeiro entender a relação entre as funções trigonométricas. Sabemos que: \[ \sec x = \frac{1}{\cos x} \] E também sabemos que: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Dado que \(\sin x = \frac{2ab}{a^2 + b^2}\), podemos calcular \(\cos x\) usando a identidade acima. 1. Primeiro, calculamos \(\sin^2 x\): \[ \sin^2 x = \left(\frac{2ab}{a^2 + b^2}\right)^2 = \frac{4a^2b^2}{(a^2 + b^2)^2} \] 2. Agora, usando a identidade \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), temos: \[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \frac{4a^2b^2}{(a^2 + b^2)^2} \] 3. Para simplificar, podemos escrever \(1\) como \(\frac{(a^2 + b^2)^2}{(a^2 + b^2)^2}\): \[ \cos^2 x = \frac{(a^2 + b^2)^2 - 4a^2b^2}{(a^2 + b^2)^2} \] 4. Agora, simplificamos o numerador: \[ (a^2 + b^2)^2 - 4a^2b^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - 4a^2b^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4 = (a^2 - b^2)^2 \] 5. Portanto, temos: \[ \cos^2 x = \frac{(a^2 - b^2)^2}{(a^2 + b^2)^2} \] 6. Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar \(\cos x\): \[ \cos x = \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} \] 7. Finalmente, calculamos \(\sec x\): \[ \sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} \] Portanto, a resposta é: \[ \sec x = \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} \]