Para determinar a interseção \(A \cap B\), precisamos primeiro encontrar os elementos dos conjuntos \(A\) e \(B\). 1. Conjunto \(A\): \[ A = \left\{ \sin \frac{k \pi}{6} \mid k = 0, 1, \ldots, 12 \right\} \] Calculando os valores: - \(k = 0: \sin(0) = 0\) - \(k = 1: \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\) - \(k = 2: \sin\left(\frac{2\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) - \(k = 3: \sin\left(\frac{3\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\) - \(k = 4: \sin\left(\frac{4\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) - \(k = 5: \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\) - \(k = 6: \sin\left(\frac{6\pi}{6}\right) = 0\) - \(k = 7: \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}\) - \(k = 8: \sin\left(\frac{8\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) - \(k = 9: \sin\left(\frac{9\pi}{6}\right) = -1\) - \(k = 10: \sin\left(\frac{10\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) - \(k = 11: \sin\left(\frac{11\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}\) - \(k = 12: \sin\left(\frac{12\pi}{6}\right) = 0\) Portanto, \(A = \{0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1, -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -1\}\). 2. Conjunto \(B\): \[ B = \left\{ \cos \frac{k \pi}{4} \mid k = 0, 1, 2, \ldots, 8 \right\} \] Calculando os valores: - \(k = 0: \cos(0) = 1\) - \(k = 1: \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) - \(k = 2: \cos\left(\frac{2\pi}{4}\right) = 0\) - \(k = 3: \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) - \(k = 4: \cos\left(\frac{4\pi}{4}\right) = -1\) - \(k = 5: \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) - \(k = 6: \cos\left(\frac{6\pi}{4}\right) = 0\) - \(k = 7: \cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) - \(k = 8: \cos\left(\frac{8\pi}{4}\right) = 1\) Portanto, \(B = \{1, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0, -\frac{\sqrt{2}}{2}, -1\}\). 3. Interseção \(A \cap B\): Agora, vamos encontrar os elementos comuns entre \(A\) e \(B\): - \(0\) está em \(A\) e \(B\). - \(1\) está em \(A\) e \(B\). - \(-1\) está em \(A\) e \(B\). Assim, a interseção \(A \cap B\) é: \[ A \cap B = \{0, 1, -1\} \]