Para resolver a questão, vamos usar a relação dada: \(\operatorname{sen} x \cdot \cos x = a\). Sabemos que \(\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1\). Vamos denotar \(\operatorname{sen}^2 x = s\) e \(\cos^2 x = c\). Assim, temos \(s + c = 1\) e \(s \cdot c = a^2\). Agora, queremos encontrar \(\operatorname{sen}^8 x + \cos^8 x\), que pode ser reescrito como \(s^4 + c^4\). Usamos a identidade: \[ s^4 + c^4 = (s^2 + c^2)^2 - 2s^2c^2 \] Sabemos que \(s^2 + c^2 = (s + c)^2 - 2sc = 1 - 2a^2\). Portanto: \[ s^4 + c^4 = (1 - 2a^2)^2 - 2a^4 \] Agora, expandindo: \[ (1 - 2a^2)^2 = 1 - 4a^2 + 4a^4 \] Assim, temos: \[ s^4 + c^4 = 1 - 4a^2 + 4a^4 - 2a^4 = 1 - 4a^2 + 2a^4 \] Portanto, a resposta correta é: (E) \(1 - 4 a^{2} + 2 a^{4}\).