GEX101_aula_7- exponencial

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GEX101 – MATEMÁTICA FUNDAMENTAL 
Turmas 02A, 07A, 09A, 10A 
Aulas 13 e 14 
 01 e 04 de março de 2013 
 
Professora Isabel Amorim 
Capítulo 3 do livro: 
Connallly, Hughes-Hallett, Gleason, et al.; Funções para modelar variações: uma preparação para o 
cálculo. 3ª Edição, Editora LTC, Rio de Janeiro, 2009. 
 
FUNÇÕES EXPONENCIAIS 
Conceitos básicos: EXPOENTES 
Potência com expoente natural: 
 
 
 
Termos da potenciação: 
 
em que b base, n o expoente e ou a é a potência. 
DEFINIÇÕES: 
Considerando m e n inteiros positivos. 
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 PROPRIEDADES 
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1.1 Introdução à família das funções exponenciais 
Vimos que as funções lineares representam quantidades que variam a uma taxa constante. 
Nesta aula, vamos estudar funções que variam a uma taxa percentual constante: as funções exponenciais. 
 
Exemplo 1: 
Após se formar na UFLA, você irá, provavelmente, procurar um trabalho. Suponha que você receba uma 
oferta de trabalho com um salário inicial de por ano. Para reforçar a oferta, a empresa 
promete aumentos anuais de 6% durante pelo menos 5 anos. Calcule seu salário nos primeiros anos. 
Solução: 
Seja o t o número de anos desde o início de seu contrato. 
Então quando , seu salário é de 
Ao final do primeiro ano, quando , seu salário cresce 6%. Então 
2 
 
 
Salário quando => salário inicial + 6% do salário inicial. 
 
 
 
Após o segundo ano, seu salário cresce mais 6%, então 
Salário quando => salário anterior + 6% do salário anterior. 
 
 
 
Observe que seu aumento no segundo ano é maior do que no primeiro, visto que, no segundo ano, o 
acréscimo de 6% se aplica ao salário inicial somado ao aumento de 240 reais do primeiro ano. 
 
A projeção do salário é apresentada na tabela 1. Observe que o aumento se torna maior a cada ano. 
 
Tabela 1: Aumento e salários resultantes de uma 
pessoa que ganha aumentos salariais de 6% ao ano. 
 
 
A figura 1 apresenta os salários ao longo de um período de 20 anos, supondo que o aumento anual 
permaneça 6%. Observe que: 
 a taxa de variação do salário (em reais) não é constante, por isso o gráfico não é uma reta. 
 o salário aumenta a uma taxa crescente, por isso o gráfico é uma curva para cima. 
 
Exemplo 2: 
O carbono-14 é um elemento que existe naturalmente na atmosfera e é absorvido por seres vivos. Quando 
um ser morre, o carbono-14 presente neste organismo morto começa a decair. Assim, o carbono-14 é 
usado para estimar o tempo decorrido após a morte de animais e plantas. A taxa de decaimento do 
carbono-14 é de 11,4% a cada 1.000 anos. 
Suponha que uma amostra de 200 microgramas (µg) de carbono-14 foi observada em árvore logo após a 
sua morte. Considerando t os anos após sua morte, qual seria a quantidade de carbono-14 restante no 
composto orgânico desta árvore após 1000 anos? 
Solução: 
Então quando equivale a quantidade inicial de carbono-14 que é de 200 microgramas (µg). 
Após 1000 anos, quando , a quantidade inicial de carbono-14 diminui 11,4%. Então 
 
Quantidade de C-14 restante => Quantidade inicial - 11,4% da quantidade inicial. 
 após 1000 anos ( 
 
 
 
Após 2000 anos, a quantidade de carbono-14 diminui mais 11,4%, então 
Ano Aumento (R$) Salário (R$) 
0 - 4.000,00 
1 240,00 4.240,00 
2 254,40 4.494,40 
3 269,66 4.764,06 
4 285,84 5.049,90 
... ... ... 
20 726,14 12.828,54 
3 
 
Quantidade de C-14 restante => Quantidade restante - 11,4% da quantidade restante. 
 após 2000 anos ( após 1000 anos após 1000 anos 
 
 
 
Observe que durante cada período de 1000 anos, a quantidade de carbono-14 que decai é menor do que no 
período anterior. Isto ocorre porque calculamos 1,4% de uma quantidade cada vez menor. 
 
A projeção da quantidade de carbono-14 remanescente na árvore após sua morte é apresentada na tabela 
2. Observe que a quantidade que decaída se torna menor a cada período de 1000 anos. 
 
Tabela 1: Quantidade de carbono-14 restante 
ao longo do tempo, após a morte da árvore. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura 2 mostra a quantidade de carbono-14 reduzida de uma amostra de 200 , durante um período de 
10.000 anos. Observe que a quantidade de C-14 decresce por uma quantidade menor a cada intervalo de 
tempo sucessivo. 
 a taxa de variação da quantidade de carbono-14 em não é constante, por isso o gráfico não é 
linear. 
 a quantidade de carbono-14 diminui a uma taxa de 11,4% a cada 1000 anos, por isso o gráfico 
é uma curva que diminui da esquerda para a direita. 
 
1.2 Fatores de crescimento e taxas percentuais de crescimento 
O fator de crescimento de uma função exponencial crescente: 
No exemplo 1, o salário cresce 6% a cada ano. Então podemos dizer que a taxa percentual de crescimento 
por ano é de 6%. 
 
 
Podemos reescrever a fórmula para o cálculo do salário da seguinte forma: 
 
 
Assim 
 
 
Como 106% = 1,06 temos que 
 
 
1,06 é o que denominamos fator de crescimento anual. 
 
Período de 
1.000 anos 
Quantidade 
decaída ( ) 
Quantidade 
Restante ( ) 
0 - 200,0 
1 22,800 177,2 
2 20,200 156,99 
3 17,898 139,10 
... ... ... 
10 7,671 59,616 
4 
 
O fator de crescimento de uma função exponencial decrescente: 
No exemplo 2, o carbono-14 varia -11,4% a cada 1.000 anos. A taxa de crescimento negativa indica que a 
quantidade de C-14 decresce ao longo do tempo. Assim temos que: 
 
 
 
Podemos reescrever a fórmula para o cálculo da quantidade de carbono-14 da seguinte forma: 
 
 
Assim 
 
 
Como 88,6% = 0,886 temos que 
 
 
Logo, o fator de crescimento é 0,886 por milênio. O fator de crescimento menor que 1 indica que a 
quantidade de Carbono-14 está decrescendo. 
Obervações: 
 
1) Utiliza-se a expressão fator de crescimento para descrever tanto quantidades crescentes quanto 
quantidades decrescentes. O fator de crescimento de uma quantidade crescente é um número 
maior que 1. O fator de crescimento de uma quantidade decrescente é um valor entre 0 e 1. 
 
2) Ao multiplicar uma quantidade por uma valor entre 0 e 1, o valor dessa quantidade diminui. 
 
1.3 Fórmula geral para a família das funções exponenciais 
 
No exemplo 1, o salário S, que cresce a uma taxa percentual constante, é uma exemplo de função 
exponencial. 
Para obter uma fórmula para S em termos de t, onde t é o número de anos após o contrato, e o fator de 
crescimento anual é dado por 1,06 temos: 
 
Após 1 ano, ou quando : 
 
 
 
 
Similarmente, quando : 
 
 
 
 
Após 2 anos, há 2 fatores 1,06, pois o salário inicial teve acréscimo de 6% duas vezes. 
 
Quando :Assim sucessivamente, até que, após anos o salário pode ser escrito como: 
5 
 
 
 
 
A fórmula do salário pode ser escrita como: 
 
 
 
 
Os resultados são apresentados na tabela 3. Observe que nesta fórmula, supomos que t seja inteiro, , 
visto que os aumentos são dados uma vez por ano. 
 
Tabela 3: Salários de uma pessoa que ganha aumentos salariais de 6% ao ano após t anos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4 A FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Uma função exponencial tem a fórmula: 
 
 
Em que 
a é o valor inicial de em , 
a base é o fator de crescimento: 
 
 
 
 
O fator de crescimento é dado por 
 
Em que r é a representação decimal da taxa de variação percentual. 
 
Observação: 
A base está restrita a valores positivos, pois se então, não está definido para alguns expoentes, 
como por exemplo . 
 
Continuação do exemplo 1: 
Use a fórmula 
 para calcular seu salário após 4 anos, 12 anos e 40 anos. 
Solução: 
Após 4 anos, 
 
 
 
Após 12 anos, 
 
 
t (anos) Cálculo S = salário (R$) 
0 
 4.000,00 
1 
 4.240,00 
2 
 4.494,40 
3 
 4.764,06 
4 
 5.049,90 
... ... 
20 
 12.828,54 
6 
 
 
Veja que após 12 anos seu salário é mais que o dobro do salário inicial de R$4.000,00. 
 
Quando 
 
 
Portanto, se você trabalhar durante 40 anos e ganhar consistentemente aumentos anuais de 6%, seu salário 
será maior que R$40.000,00. 
 
Continuação do exemplo 2: 
No exemplo 2 vimos que o Carbono-14 decai a uma taxa de 11,4% a cada 1.000 anos. Escreva uma 
fórmula para a quantidade de carbono remanescente de uma amostra de 200µg de C-14, como função do 
tempo t em milhares de anos. Calcule a quantidade de carbono-14 remanescente após 10.000 anos. 
 
Solução: 
O fator de crescimento do C-14 no período de 1.000 anos é de 1-0,114 = 0,886. A quantidade inicial de 
C-14 é 200µg. Assim a quantidade de C-14 remanescente, após t milhares de anos, é dada por: 
 
 
 
 
 Após 10.000 anos, 
 
 µg 
 
1.5 Gráficos de funções exponenciais: 
Na fórmula , temos que o valor de a indica onde o gráfico corta o eixo y, pois quando 
temos . 
 
O valor de b, denominado base de uma função exponencial, que representa o fator de crescimento. 
 
Considerando , temso que se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 a) Crescimento exponencial Figura 3 b) Decrescimento exponencial 
 
Observe que na figura 3a o gráfico da função sobe da esquerda para direita, apresentando um 
crescimento exponencial quando . Na figura 3b, o gráfico decai, da esquerda para direita, 
apresentando um decrescimento exponencial quando . 
 
Observe que a curva jamais toca o eixo x, embora apresente tendência de se aproximar deste 
eixo. Por isso dizemos que o eixo x é uma assíntota horizontal para o gráfico de 
 
 
 
 
 
7 
 
Exemplo 3: 
As figuras 4 a e b apresentam os gráficos para as funções exponenciais e 
respectivamente. 
 
Figura 4 a) Função exponencial Figura 4 b) função exponencial . 
 
Observe que a é igual a 1 em ambas as funções. Por isso os dois gráficos cortam o eixo y no ponto (0,1). 
Na função temos que a base , por isso o gráfico apresentado na figura 4a cresce quando 
lido da esquerda para a direita. 
Enquanto que, na função , temos que a base , por isso o gráfico apresentado na 
figura 4b decresce quando lido da esquerda para a direita. 
 
Propriedade da função exponencial: 
  x y yxf x y b b b  