Problema: Determine a derivada de \( f(x) = e^{\sqrt{\ln(x)}} \).

Para determinar a derivada da função \( f(x) = e^{\sqrt{\ln(x)}} \), vamos usar a regra da cadeia. 1. Identifique as funções: - Seja \( u = \sqrt{\ln(x)} \), então \( f(x) = e^u \). 2. Derivada de \( f \): - A derivada de \( e^u \) em relação a \( x \) é \( f'(x) = e^u \cdot \frac{du}{dx} \). 3. Calcule \( \frac{du}{dx} \): - Para \( u = \sqrt{\ln(x)} \), usamos a regra da cadeia novamente: - \( u = (\ln(x))^{1/2} \) - \( \frac{du}{dx} = \frac{1}{2}(\ln(x))^{-1/2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2\sqrt{\ln(x)} \cdot x} \). 4. Substitua \( u \) de volta: - Agora, substituímos \( u \) na derivada de \( f \): - \( f'(x) = e^{\sqrt{\ln(x)}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\ln(x)} \cdot x} \). Portanto, a derivada de \( f(x) = e^{\sqrt{\ln(x)}} \) é: \[ f'(x) = \frac{e^{\sqrt{\ln(x)}}}{2\sqrt{\ln(x)} \cdot x} \]