Problema: Determine a derivada de \( f(x) = e^{\tan^2(x)} \).

Para determinar a derivada da função \( f(x) = e^{\tan^2(x)} \), utilizamos a regra da cadeia. 1. Identifique as funções: Aqui, temos uma função externa \( e^u \) onde \( u = \tan^2(x) \). 2. Derivada da função externa: A derivada de \( e^u \) em relação a \( u \) é \( e^u \). 3. Derivada da função interna: Agora, precisamos encontrar a derivada de \( u = \tan^2(x) \). Usamos a regra da cadeia novamente: - A derivada de \( \tan^2(x) \) é \( 2\tan(x) \cdot \sec^2(x) \). 4. Aplicando a regra da cadeia: Agora, aplicamos a regra da cadeia: \[ f'(x) = e^{\tan^2(x)} \cdot \frac{d}{dx}(\tan^2(x)) = e^{\tan^2(x)} \cdot 2\tan(x) \sec^2(x). \] Portanto, a derivada de \( f(x) = e^{\tan^2(x)} \) é: \[ f'(x) = 2\tan(x) \sec^2(x) e^{\tan^2(x)}. \]