Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(\tan^2(x)) \).

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \ln(\tan^2(x)) \), podemos usar a regra da cadeia e a regra do logaritmo. 1. Usar a propriedade do logaritmo: \[ f(x) = \ln(\tan^2(x)) = 2 \ln(\tan(x)) \] 2. Derivar: Agora, derivamos \( f(x) \): \[ f'(x) = 2 \cdot \frac{d}{dx}[\ln(\tan(x))] \] 3. Aplicar a regra da cadeia: A derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} \), onde \( u = \tan(x) \): \[ f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{\tan(x)} \cdot \sec^2(x) \] 4. Simplificar: \[ f'(x) = 2 \cdot \frac{\sec^2(x)}{\tan(x)} \] Portanto, a derivada de \( f(x) = \ln(\tan^2(x)) \) é: \[ f'(x) = 2 \cdot \frac{\sec^2(x)}{\tan(x)} \]