Problema: Calcule a derivada de $ f(x) = \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} $.

Question

Ed Inteligência Artificial do Passei Direto · Answer

Para calcular a derivada da função $ f(x) = \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} $, podemos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos uma função na forma $ \frac{u}{v} $, onde $ u = \ln(x) $ e $ v = \sqrt{x} $, a derivada é dada por:

$$
f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}
$$

1. **Calcule $ u' $**:
   - $ u = \ln(x) $ 
   - $ u' = \frac{1}{x} $

2. **Calcule $ v' $**:
   - $ v = \sqrt{x} = x^{1/2} $
   - $ v' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $

3. **Substitua na fórmula da regra do quociente**:
   $$
   f'(x) = \frac{\left(\frac{1}{x}\right)\sqrt{x} - \ln(x)\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}{(\sqrt{x})^2}
   $$

4. **Simplifique**:
   - O denominador $ (\sqrt{x})^2 = x $.
   - O numerador fica:
   $$
   \frac{\sqrt{x}}{x} - \frac{\ln(x)}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{\ln(x)}{2\sqrt{x}} = \frac{2 - \ln(x)}{2\sqrt{x}}
   $$

Portanto, a derivada é:

$$
f'(x) = \frac{2 - \ln(x)}{2x}
$$

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