Para resolver essa questão, precisamos calcular a matriz \( M^2 \) (o produto da matriz \( M \) com ela mesma) e analisar os resultados para determinar as conexões de grau 2 entre as pessoas da rede social. A matriz \( M \) dada é: \[ M=\left(\begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \] Vamos calcular \( M^2 \): \[ M^2 = M \times M \] Realizando a multiplicação de matrizes, obtemos: 1. Para a posição \( (1,1) \): \( 0*0 + 1*0 + 0*1 + 1*1 = 1 \) 2. Para a posição \( (1,2) \): \( 0*1 + 1*0 + 0*1 + 1*0 = 0 \) 3. Para a posição \( (1,3) \): \( 0*0 + 1*1 + 0*0 + 1*1 = 2 \) 4. Para a posição \( (1,4) \): \( 0*1 + 1*0 + 0*1 + 1*0 = 0 \) 5. Para a posição \( (2,1) \): \( 0*0 + 0*0 + 1*1 + 0*1 = 1 \) 6. Para a posição \( (2,2) \): \( 0*1 + 0*0 + 1*0 + 0*0 = 0 \) 7. Para a posição \( (2,3) \): \( 0*0 + 0*1 + 1*0 + 0*1 = 0 \) 8. Para a posição \( (2,4) \): \( 0*1 + 0*0 + 1*1 + 0*0 = 1 \) 9. Para a posição \( (3,1) \): \( 1*0 + 1*0 + 0*1 + 1*1 = 1 \) 10. Para a posição \( (3,2) \): \( 1*1 + 1*0 + 0*0 + 1*0 = 1 \) 11. Para a posição \( (3,3) \): \( 1*0 + 1*1 + 0*0 + 1*1 = 2 \) 12. Para a posição \( (3,4) \): \( 1*1 + 1*0 + 0*1 + 1*0 = 1 \) 13. Para a posição \( (4,1) \): \( 1*0 + 0*0 + 1*1 + 0*1 = 1 \) 14. Para a posição \( (4,2) \): \( 1*1 + 0*0 + 1*0 + 0*0 = 1 \) 15. Para a posição \( (4,3) \): \( 1*0 + 0*1 + 1*0 + 0*1 = 0 \) 16. Para a posição \( (4,4) \): \( 1*1 + 0*0 + 1*1 + 0*0 = 2 \) Assim, a matriz \( M^2 \) é: \[ M^2 = \left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \end{array}\right) \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) Existem 5 pares de pessoas diferentes (\( P_{i} \neq P_{j} \)) que não possuem conexões de grau 2. - Analisando a matriz, podemos ver que existem pares que não têm conexões de grau 2. Essa afirmação pode ser verdadeira. B) Existem 6 pares de pessoas diferentes (\( P_{i} \neq P_{j} \)) que possuem apenas uma conexão de grau 2. - Precisamos contar as conexões de grau 2. A matriz mostra que há pares com 1 conexão de grau 2, mas não necessariamente 6. Essa afirmação pode ser falsa. C) Existem 3 pares de pessoas diferentes (\( P_{i} \neq P_{j} \)) que possuem 2 conexões de grau 2 diferentes. - A matriz mostra que há pares com 2 conexões de grau 2, mas não necessariamente 3. Essa afirmação pode ser falsa. D) Existem 3 pessoas que possuem conexões de grau 2 com todas as outras pessoas da rede social. - Precisamos verificar se 3 pessoas têm conexões de grau 2 com todas as outras. Essa afirmação pode ser falsa. E) Existe apenas 1 pessoa \( P_{i}(i \neq 3) \) tal que \( P_{i} \) e \( P_{3} \) seguem-se mutuamente. - Analisando a matriz original, \( P_{3} \) segue \( P_{1} \) e \( P_{2} \), mas não \( P_{4} \). Portanto, essa afirmação é verdadeira. Após a análise, a alternativa correta é a) Existem 5 pares de pessoas diferentes (\( P_{i} \neq P_{j} \)) que não possuem conexões de grau 2.