Use a suitable substitution to evaluate the following integral. 2. ∫ \tan x dx

Para avaliar a integral \(\int \tan x \, dx\), podemos usar a substituição: \[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \] Assim, a integral se torna: \[ \int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx \] Agora, podemos usar a substituição \(u = \cos x\), o que implica que \(du = -\sin x \, dx\) ou \(dx = -\frac{du}{\sin x}\). Substituindo na integral, temos: \[ \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = -\int \frac{1}{u} \, du \] A integral de \(-\frac{1}{u}\) é: \[ -\ln |u| + C \] Substituindo \(u\) de volta, obtemos: \[ -\ln |\cos x| + C \] Portanto, a integral \(\int \tan x \, dx\) é: \[ -\ln |\cos x| + C \] ou, de forma equivalente: \[ \ln |\sec x| + C \] onde \(C\) é a constante de integração.