Use a suitable substitution to evaluate the following integral. 6. ∫ x(x^{2}+2)^{99} dx

Para resolver a integral \(\int x(x^{2}+2)^{99} dx\), podemos usar a substituição. Vamos definir: \(u = x^{2} + 2\) Então, derivando \(u\): \(\frac{du}{dx} = 2x\) ou \(du = 2x \, dx\) Isso implica que: \(x \, dx = \frac{1}{2} du\) Agora, substituindo na integral: \[ \int x(x^{2}+2)^{99} dx = \int (u)^{99} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{99} du \] Agora, integramos \(u^{99}\): \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{100}}{100} + C = \frac{1}{200} u^{100} + C \] Substituindo \(u\) de volta: \[ \frac{1}{200} (x^{2} + 2)^{100} + C \] Portanto, a integral \(\int x(x^{2}+2)^{99} dx\) é: \[ \frac{1}{200} (x^{2} + 2)^{100} + C \]