Use a suitable substitution to evaluate the following integral. 3. ∫ \frac{e^{3x}+1}{e^{x}+1} dx

Para resolver a integral \(\int \frac{e^{3x}+1}{e^{x}+1} \, dx\), uma boa substituição é \(u = e^x\). Assim, temos: 1. \(du = e^x \, dx\) ou \(dx = \frac{du}{u}\). 2. Quando \(x = 0\), \(u = e^0 = 1\). Agora, substituindo na integral: \[ \int \frac{e^{3x}+1}{e^{x}+1} \, dx = \int \frac{u^3 + 1}{u + 1} \cdot \frac{du}{u} \] Simplificando a fração: \[ \frac{u^3 + 1}{u + 1} = u^2 - u + 1 \] Portanto, a integral se torna: \[ \int (u^2 - u + 1) \cdot \frac{du}{u} = \int (u - 1 + \frac{1}{u}) \, du \] Agora, integramos cada termo: \[ \int u \, du - \int 1 \, du + \int \frac{1}{u} \, du = \frac{u^2}{2} - u + \ln|u| + C \] Substituindo \(u = e^x\) de volta: \[ \frac{(e^x)^2}{2} - e^x + \ln|e^x| + C = \frac{e^{2x}}{2} - e^x + x + C \] Assim, a solução da integral é: \[ \int \frac{e^{3x}+1}{e^{x}+1} \, dx = \frac{e^{2x}}{2} - e^x + x + C \]