Use a suitable substitution to evaluate the following integral. 8. ∫ \frac{x}{\sqrt{25-x^{2}}} dx

Para resolver a integral \(\int \frac{x}{\sqrt{25-x^{2}}} dx\), podemos usar a substituição trigonométrica. 1. Substituição: Vamos usar a substituição \(x = 5 \sin(\theta)\). Assim, \(dx = 5 \cos(\theta) d\theta\). 2. Substituindo na integral: \[ \sqrt{25 - x^2} = \sqrt{25 - (5 \sin(\theta))^2} = \sqrt{25(1 - \sin^2(\theta))} = 5 \cos(\theta) \] 3. Substituindo na integral: \[ \int \frac{x}{\sqrt{25-x^{2}}} dx = \int \frac{5 \sin(\theta)}{5 \cos(\theta)} (5 \cos(\theta) d\theta) = \int 5 \sin(\theta) d\theta \] 4. Integrando: \[ \int 5 \sin(\theta) d\theta = -5 \cos(\theta) + C \] 5. Voltando à variável original: Como \(x = 5 \sin(\theta)\), temos \(\sin(\theta) = \frac{x}{5}\) e, portanto, \(\cos(\theta) = \sqrt{1 - \left(\frac{x}{5}\right)^2} = \frac{\sqrt{25 - x^2}}{5}\). 6. Substituindo de volta: \[ -5 \cos(\theta) = -5 \cdot \frac{\sqrt{25 - x^2}}{5} = -\sqrt{25 - x^2} \] Assim, a integral é: \[ \int \frac{x}{\sqrt{25-x^{2}}} dx = -\sqrt{25 - x^2} + C \]