Use a suitable substitution to evaluate the following integral. 4. ∫ \frac{dx}{1+e^{x}}

Para resolver a integral \( \int \frac{dx}{1+e^{x}} \), podemos usar a substituição \( u = 1 + e^{x} \). 1. Derivando \( u \), temos \( du = e^{x} dx \), ou seja, \( dx = \frac{du}{e^{x}} \). 2. Como \( e^{x} = u - 1 \), substituímos \( dx \) na integral: \[ \int \frac{dx}{1+e^{x}} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{u - 1} \] 3. Agora, a integral se torna: \[ \int \frac{du}{u(u - 1)} \] 4. Podemos usar frações parciais para simplificar: \[ \frac{1}{u(u - 1)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{u - 1} \] 5. Resolvendo para \( A \) e \( B \), encontramos \( A = 1 \) e \( B = -1 \). Assim, a integral se torna: \[ \int \left( \frac{1}{u} - \frac{1}{u - 1} \right) du \] 6. Integrando, obtemos: \[ \ln |u| - \ln |u - 1| + C = \ln \left| \frac{u}{u - 1} \right| + C \] 7. Substituindo \( u = 1 + e^{x} \) de volta, temos: \[ \ln \left| \frac{1 + e^{x}}{e^{x}} \right| + C = \ln \left( 1 + e^{x} \right) - x + C \] Portanto, a integral \( \int \frac{dx}{1+e^{x}} = \ln(1 + e^{x}) - x + C \).