Use a suitable substitution to evaluate the following integral. 5. ∫ \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} dx

Para resolver a integral \(\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} dx\), podemos usar a substituição \(u = 1 - x^2\). 1. Derivando \(u\), temos \(du = -2x \, dx\) ou \(dx = -\frac{du}{2x}\). 2. Substituindo na integral, obtemos: \[ \int \frac{x}{\sqrt{u}} \left(-\frac{du}{2x}\right) = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} du. \] 3. A integral \(\int \frac{1}{\sqrt{u}} du\) é igual a \(2\sqrt{u}\). 4. Portanto, temos: \[ -\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{u} = -\sqrt{u}. \] 5. Voltando à variável original, substituímos \(u\) de volta: \[ -\sqrt{1 - x^2} + C, \] onde \(C\) é a constante de integração. Assim, a solução da integral é: \[ -\sqrt{1 - x^2} + C. \]