Use a suitable substitution to evaluate the following integral. 9. ∫ \frac{x dx}{(1+x^{2})^{2}}

Para resolver a integral \(\int \frac{x \, dx}{(1+x^{2})^{2}}\), podemos usar a substituição \(u = 1 + x^2\). 1. Derivada da substituição: \[ du = 2x \, dx \quad \Rightarrow \quad \frac{du}{2} = x \, dx \] 2. Substituindo na integral: A integral se torna: \[ \int \frac{x \, dx}{(1+x^{2})^{2}} = \int \frac{\frac{du}{2}}{u^{2}} = \frac{1}{2} \int u^{-2} \, du \] 3. Integrando: \[ \frac{1}{2} \int u^{-2} \, du = \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{u}\right) + C = -\frac{1}{2u} + C \] 4. Voltando à variável original: Substituindo \(u\) de volta: \[ -\frac{1}{2(1+x^{2})} + C \] Portanto, a solução da integral é: \[ -\frac{1}{2(1+x^{2})} + C \]