Use a suitable substitution to evaluate the following integral. 11. ∫ \frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}

Para resolver a integral \(\int \frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}\), uma substituição adequada é \(u = \sqrt{x}\). Assim, temos: 1. \(x = u^2\) 2. \(dx = 2u \, du\) 3. \(\sqrt{x} = u\) Substituindo na integral, obtemos: \[ \int \frac{2u \, du}{u(1+u^2)} = \int \frac{2 \, du}{1+u^2} \] Agora, a integral \(\int \frac{2 \, du}{1+u^2}\) é uma integral conhecida, que resulta em: \[ 2 \tan^{-1}(u) + C \] Substituindo \(u\) de volta para \(\sqrt{x}\): \[ 2 \tan^{-1}(\sqrt{x}) + C \] Portanto, a solução da integral é: \[ \int \frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)} = 2 \tan^{-1}(\sqrt{x}) + C \]