Use a suitable substitution to evaluate the following integral. 13. ∫ \frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x} dx

Para resolver a integral \(\int \frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x} \, dx\), podemos usar a substituição \(u = \frac{1}{x}\). Então, temos: 1. \(du = -\frac{1}{x^2} \, dx\) ou \(dx = -x^2 \, du = -\frac{1}{u^2} \, du\). 2. Substituindo na integral, obtemos: \[ \int \frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x} \, dx = \int \sin(u) \cdot (-1) \, du = -\int \sin(u) \, du. \] 3. A integral de \(-\sin(u)\) é \(\cos(u)\), então: \[ -\int \sin(u) \, du = -(-\cos(u)) = \cos(u) + C. \] 4. Finalmente, substituindo \(u\) de volta, temos: \[ \cos\left(\frac{1}{x}\right) + C. \] Portanto, a solução da integral é: \[ \int \frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x} \, dx = \cos\left(\frac{1}{x}\right) + C. \]