Use a suitable substitution to evaluate the following integral. 15. ∫ x e^{-x^{2}} dx

Para resolver a integral \(\int x e^{-x^{2}} dx\), podemos usar a substituição \(u = -x^{2}\). 1. Derivando \(u\), temos \(du = -2x dx\) ou \(dx = \frac{du}{-2x}\). 2. Substituindo na integral, obtemos: \[ \int x e^{-x^{2}} dx = \int x e^{u} \left(\frac{du}{-2x}\right) = -\frac{1}{2} \int e^{u} du \] 3. A integral de \(e^{u}\) é \(e^{u}\), então: \[ -\frac{1}{2} \int e^{u} du = -\frac{1}{2} e^{u} + C \] 4. Substituindo \(u\) de volta, temos: \[ -\frac{1}{2} e^{-x^{2}} + C \] Portanto, a solução da integral é: \[ \int x e^{-x^{2}} dx = -\frac{1}{2} e^{-x^{2}} + C \]