Use a suitable substitution to evaluate the following integral. 16. ∫ \frac{x dx}{\sqrt{4x+5}}

Para resolver a integral \(\int \frac{x \, dx}{\sqrt{4x+5}}\), podemos usar a substituição. Vamos definir: \(u = 4x + 5\) Então, derivando ambos os lados, temos: \(\frac{du}{dx} = 4 \Rightarrow du = 4 \, dx \Rightarrow dx = \frac{du}{4}\) Agora, precisamos expressar \(x\) em termos de \(u\): \(x = \frac{u - 5}{4}\) Substituindo na integral, temos: \[ \int \frac{\frac{u - 5}{4} \cdot \frac{du}{4}}{\sqrt{u}} = \int \frac{(u - 5)}{16\sqrt{u}} \, du \] Agora, podemos separar a integral: \[ \int \frac{u}{16\sqrt{u}} \, du - \int \frac{5}{16\sqrt{u}} \, du \] Isso se simplifica para: \[ \frac{1}{16} \int u^{1/2} \, du - \frac{5}{16} \int u^{-1/2} \, du \] Calculando as integrais: \[ \frac{1}{16} \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} - \frac{5}{16} \cdot 2u^{1/2} + C \] Simplificando: \[ \frac{1}{24} u^{3/2} - \frac{5}{8} u^{1/2} + C \] Agora, substituímos \(u\) de volta: \[ \frac{1}{24} (4x + 5)^{3/2} - \frac{5}{8} (4x + 5)^{1/2} + C \] Essa é a solução da integral.