Use a suitable substitution to evaluate the following integral. 10. ∫ \frac{x}{\sqrt{3x^{2}+1}} dx

Para resolver a integral \(\int \frac{x}{\sqrt{3x^{2}+1}} \, dx\), podemos usar a substituição \(u = 3x^2 + 1\). 1. Derivada da substituição: \[ du = 6x \, dx \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{du}{6x} \] 2. Substituindo na integral: \[ x = \sqrt{\frac{u - 1}{3}} \quad \text{(da substituição inicial)} \] Assim, substituímos \(x\) e \(dx\): \[ \int \frac{x}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{6x} = \int \frac{1}{6\sqrt{u}} \, du \] 3. Integrando: \[ \int \frac{1}{6\sqrt{u}} \, du = \frac{1}{6} \cdot 2\sqrt{u} + C = \frac{\sqrt{u}}{3} + C \] 4. Voltando à variável original: \[ \frac{\sqrt{3x^2 + 1}}{3} + C \] Portanto, a integral \(\int \frac{x}{\sqrt{3x^{2}+1}} \, dx\) é igual a: \[ \frac{\sqrt{3x^2 + 1}}{3} + C \]