Use a suitable substitution to evaluate the following integral. 12. ∫ \frac{x^{2}}{\sqrt{9-x^{3}}} dx

Para resolver a integral \(\int \frac{x^{2}}{\sqrt{9-x^{3}}} dx\), podemos usar a substituição \(u = 9 - x^{3}\). 1. Derivando \(u\), temos: \[ du = -3x^{2} dx \quad \Rightarrow \quad dx = -\frac{du}{3x^{2}} \] 2. Agora, substituímos \(x^{2}\) e \(dx\) na integral: \[ \int \frac{x^{2}}{\sqrt{9-x^{3}}} dx = \int \frac{x^{2}}{\sqrt{u}} \left(-\frac{du}{3x^{2}}\right) \] 3. Simplificando, obtemos: \[ -\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} du \] 4. A integral de \(\frac{1}{\sqrt{u}}\) é \(2\sqrt{u}\), então: \[ -\frac{1}{3} \cdot 2\sqrt{u} + C = -\frac{2}{3}\sqrt{9 - x^{3}} + C \] Portanto, a solução da integral é: \[ -\frac{2}{3}\sqrt{9 - x^{3}} + C \]