Use a suitable substitution to evaluate the following integral. 18. ∫ x \sqrt{x-1} dx

Para resolver a integral \( \int x \sqrt{x-1} \, dx \), podemos usar a substituição \( u = x - 1 \). Assim, temos: 1. \( x = u + 1 \) 2. \( dx = du \) Substituindo na integral, temos: \[ \int (u + 1) \sqrt{u} \, du \] Agora, podemos expandir a integral: \[ \int (u \sqrt{u} + \sqrt{u}) \, du = \int (u^{3/2} + u^{1/2}) \, du \] Agora, integramos cada termo separadamente: \[ \int u^{3/2} \, du = \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5} u^{5/2} \] \[ \int u^{1/2} \, du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} u^{3/2} \] Portanto, a integral se torna: \[ \frac{2}{5} u^{5/2} + \frac{2}{3} u^{3/2} + C \] Substituindo \( u = x - 1 \) de volta, temos: \[ \frac{2}{5} (x - 1)^{5/2} + \frac{2}{3} (x - 1)^{3/2} + C \] Essa é a solução da integral.