Use a suitable substitution to evaluate the following integral. 20. ∫ (x+2) \sqrt{x-1} dx

Para resolver a integral \(\int (x+2) \sqrt{x-1} \, dx\), podemos usar a substituição \(u = x - 1\). Assim, temos: 1. \(x = u + 1\) 2. \(dx = du\) 3. \(\sqrt{x-1} = \sqrt{u}\) Substituindo na integral, temos: \[ \int ((u + 1) + 2) \sqrt{u} \, du = \int (u + 3) \sqrt{u} \, du \] Agora, podemos expandir a integral: \[ \int (u^{3/2} + 3u^{1/2}) \, du \] Agora, integramos cada termo separadamente: 1. \(\int u^{3/2} \, du = \frac{2}{5} u^{5/2}\) 2. \(\int 3u^{1/2} \, du = 3 \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} = 2u^{3/2}\) Portanto, a integral se torna: \[ \frac{2}{5} u^{5/2} + 2u^{3/2} + C \] Substituindo \(u = x - 1\) de volta, temos: \[ \frac{2}{5} (x - 1)^{5/2} + 2(x - 1)^{3/2} + C \] Essa é a solução da integral.