Use a suitable substitution to evaluate the following integral. 22. ∫ \frac{x dx}{\sqrt{x+9}}

Para resolver a integral \(\int \frac{x \, dx}{\sqrt{x+9}}\), podemos usar a substituição \(u = x + 9\). Assim, temos: 1. Substituição: \(u = x + 9\) implica que \(x = u - 9\) e \(dx = du\). 2. Alterando os limites: Quando \(x = 0\), \(u = 9\) e quando \(x\) tende a \(\infty\), \(u\) também tende a \(\infty\). 3. Substituindo na integral: \[ \int \frac{x \, dx}{\sqrt{x+9}} = \int \frac{u - 9}{\sqrt{u}} \, du \] 4. Separando a integral: \[ = \int \frac{u}{\sqrt{u}} \, du - 9 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \, du \] 5. Simplificando: \[ = \int u^{1/2} \, du - 9 \int u^{-1/2} \, du \] 6. Integrando: \[ = \frac{2}{3} u^{3/2} - 9 \cdot 2 u^{1/2} + C \] 7. Voltando à variável original: Substituindo \(u = x + 9\): \[ = \frac{2}{3} (x + 9)^{3/2} - 18 (x + 9)^{1/2} + C \] E essa é a solução da integral!