Use a suitable substitution to evaluate the following integral. 24. ∫ x^{3}(1+3x^{2})^{\frac{1}{2}} dx

Para resolver a integral \(\int x^{3}(1+3x^{2})^{\frac{1}{2}} dx\), podemos usar a substituição \(u = 1 + 3x^{2}\). 1. Derivando \(u\), temos: \[ du = 6x \, dx \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{du}{6x} \] 2. Agora, precisamos expressar \(x^{3}\) em termos de \(u\). Da substituição, temos: \[ x^{2} = \frac{u - 1}{3} \quad \Rightarrow \quad x^{3} = x \cdot x^{2} = x \cdot \frac{u - 1}{3} \] 3. Para encontrar \(x\) em termos de \(u\), podemos usar \(x = \sqrt{\frac{u - 1}{3}}\). 4. Substituindo tudo na integral: \[ \int x^{3}(1+3x^{2})^{\frac{1}{2}} dx = \int \left(\sqrt{\frac{u - 1}{3}} \cdot \frac{u - 1}{3}\right) \cdot \sqrt{u} \cdot \frac{du}{6\sqrt{\frac{u - 1}{3}}} \] 5. Simplificando a integral, você pode resolver a nova integral em termos de \(u\). Depois de resolver a integral em \(u\), não esqueça de voltar para a variável original \(x\) substituindo \(u\) de volta. Essa é a abordagem para resolver a integral proposta!