Use integration by parts to evaluate the following integral. 2. ∫ (\frac{\ln x}{x})^{2} dx

Para resolver a integral \(\int \left(\frac{\ln x}{x}\right)^{2} dx\) usando a técnica de integração por partes, podemos seguir os seguintes passos: 1. Escolha \(u\) e \(dv\): - Seja \(u = \left(\ln x\right)^{2}\) e \(dv = \frac{1}{x} dx\). 2. Calcule \(du\) e \(v\): - Derivando \(u\): \(du = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} dx\). - Integrando \(dv\): \(v = \ln x\). 3. Aplique a fórmula de integração por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Substituindo os valores: \[ \int \left(\frac{\ln x}{x}\right)^{2} dx = \left(\ln x\right)^{2} \ln x - \int \ln x \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} dx \] 4. Simplifique a integral: \[ = \left(\ln x\right)^{3} - 2 \int \frac{(\ln x)^{2}}{x} dx \] 5. Agora, você precisa resolver a integral \(\int \frac{(\ln x)^{2}}{x} dx\), que é a mesma que a integral original. Vamos chamar essa integral de \(I\): \[ I = \int \left(\frac{\ln x}{x}\right)^{2} dx \] 6. Substitua \(I\) na equação: \[ I = \left(\ln x\right)^{3} - 2I \] 7. Isolando \(I\): \[ 3I = \left(\ln x\right)^{3} \] \[ I = \frac{1}{3} \left(\ln x\right)^{3} \] 8. Portanto, a integral é: \[ \int \left(\frac{\ln x}{x}\right)^{2} dx = \frac{1}{3} \left(\ln x\right)^{3} + C \] onde \(C\) é a constante de integração. E aí está! Essa é a solução da integral.