Use integration by parts to evaluate the following integral. 3. ∫ x^{2} \ln x dx

Para resolver a integral \(\int x^{2} \ln x \, dx\) usando a técnica de integração por partes, seguimos os seguintes passos: 1. Escolher \(u\) e \(dv\): - Seja \(u = \ln x\) (então \(du = \frac{1}{x} \, dx\)) - Seja \(dv = x^{2} \, dx\) (então \(v = \frac{x^{3}}{3}\)) 2. Aplicar a fórmula de integração por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] 3. Substituir os valores: \[ \int x^{2} \ln x \, dx = \ln x \cdot \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx \] \[ = \frac{x^{3}}{3} \ln x - \int \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx \] \[ = \frac{x^{3}}{3} \ln x - \frac{1}{3} \int x^{2} \, dx \] 4. Calcular a integral restante: \[ \int x^{2} \, dx = \frac{x^{3}}{3} \] Portanto, \[ \int x^{2} \ln x \, dx = \frac{x^{3}}{3} \ln x - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3} + C \] \[ = \frac{x^{3}}{3} \ln x - \frac{x^{3}}{9} + C \] 5. Resultado final: \[ \int x^{2} \ln x \, dx = \frac{x^{3}}{3} \ln x - \frac{x^{3}}{9} + C \] E aí está! Essa é a solução da integral.