Use integration by parts to evaluate the following integral. 4. ∫ x e^{-x} dx

Para resolver a integral \(\int x e^{-x} \, dx\) usando a técnica de integração por partes, seguimos os seguintes passos: 1. Escolha \(u\) e \(dv\): - \(u = x\) \(\Rightarrow du = dx\) - \(dv = e^{-x} dx\) \(\Rightarrow v = -e^{-x}\) 2. Aplique a fórmula de integração por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] 3. Substitua os valores: \[ \int x e^{-x} \, dx = -x e^{-x} - \int (-e^{-x}) \, dx \] 4. Simplifique: \[ = -x e^{-x} + \int e^{-x} \, dx \] 5. Calcule a integral restante: \[ \int e^{-x} \, dx = -e^{-x} \] 6. Substitua de volta: \[ = -x e^{-x} - e^{-x} + C \] 7. Fatorando: \[ = -e^{-x}(x + 1) + C \] Portanto, a solução da integral \(\int x e^{-x} \, dx\) é: \[ -e^{-x}(x + 1) + C \]