Para calcular o volume do sólido sob o gráfico da função \( f(x, y) = x + y \) e acima da região \( S \) definida por \( 0 \leq x \leq 5 \) e \( 0 \leq y \leq 3 \), precisamos calcular a integral dupla da função sobre a região \( S \). A integral dupla é dada por: \[ V = \int_0^5 \int_0^3 (x + y) \, dy \, dx \] Vamos calcular isso passo a passo: 1. Calcular a integral interna (em relação a \( y \)): \[ \int_0^3 (x + y) \, dy = \int_0^3 x \, dy + \int_0^3 y \, dy \] - A primeira parte: \[ \int_0^3 x \, dy = x \cdot y \bigg|_0^3 = 3x \] - A segunda parte: \[ \int_0^3 y \, dy = \frac{y^2}{2} \bigg|_0^3 = \frac{9}{2} \] - Portanto: \[ \int_0^3 (x + y) \, dy = 3x + \frac{9}{2} \] 2. Calcular a integral externa (em relação a \( x \)): \[ V = \int_0^5 \left(3x + \frac{9}{2}\right) \, dx = \int_0^5 3x \, dx + \int_0^5 \frac{9}{2} \, dx \] - A primeira parte: \[ \int_0^5 3x \, dx = \frac{3x^2}{2} \bigg|_0^5 = \frac{3 \cdot 25}{2} = \frac{75}{2} \] - A segunda parte: \[ \int_0^5 \frac{9}{2} \, dx = \frac{9}{2} \cdot x \bigg|_0^5 = \frac{9}{2} \cdot 5 = \frac{45}{2} \] - Portanto: \[ V = \frac{75}{2} + \frac{45}{2} = \frac{120}{2} = 60 \] Assim, o volume do sólido sob o gráfico da função \( f \) e acima da região \( S \) é 60. Portanto, a alternativa correta é: (D) 60.