Obtenha \(\operatorname{tg} x\), sabendo que \(\operatorname{sen}^{2} x-5 \cdot \operatorname{sen} x \cdot \cos x+\cos ^{2} x=3\).

Para resolver a equação \(\operatorname{sen}^{2} x - 5 \cdot \operatorname{sen} x \cdot \cos x + \cos^{2} x = 3\), vamos usar a identidade \(\operatorname{sen}^{2} x + \cos^{2} x = 1\). 1. Substitua \(\cos^{2} x\) por \(1 - \operatorname{sen}^{2} x\): \[ \operatorname{sen}^{2} x - 5 \cdot \operatorname{sen} x \cdot \cos x + (1 - \operatorname{sen}^{2} x) = 3 \] Simplificando, temos: \[ -5 \cdot \operatorname{sen} x \cdot \cos x + 1 = 3 \] \[ -5 \cdot \operatorname{sen} x \cdot \cos x = 2 \] \[ \operatorname{sen} x \cdot \cos x = -\frac{2}{5} \] 2. Sabemos que \(\operatorname{tg} x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}\). Podemos usar a relação \(\operatorname{sen} x \cdot \cos x = \frac{1}{2} \operatorname{sen}(2x)\): \[ \frac{1}{2} \operatorname{sen}(2x) = -\frac{2}{5} \] \[ \operatorname{sen}(2x) = -\frac{4}{5} \] 3. Agora, usando a relação \(\operatorname{tg} x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}\), podemos expressar \(\operatorname{sen} x\) e \(\cos x\) em termos de \(\operatorname{tg} x\): \[ \operatorname{sen} x = \frac{\operatorname{tg} x}{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 x}}, \quad \cos x = \frac{1}{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 x}} \] 4. Substituindo na equação \(\operatorname{sen} x \cdot \cos x = -\frac{2}{5}\): \[ \frac{\operatorname{tg} x}{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 x}} = -\frac{2}{5} \] \[ \frac{\operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg}^2 x} = -\frac{2}{5} \] 5. Multiplicando ambos os lados por \(1 + \operatorname{tg}^2 x\): \[ 5 \cdot \operatorname{tg} x = -2(1 + \operatorname{tg}^2 x) \] \[ 5 \cdot \operatorname{tg} x + 2 + 2 \cdot \operatorname{tg}^2 x = 0 \] 6. Essa é uma equação quadrática em \(\operatorname{tg} x\). Resolvendo-a, podemos encontrar os valores de \(\operatorname{tg} x\). Assim, a resposta final para \(\operatorname{tg} x\) pode ser obtida resolvendo a equação quadrática resultante.