Use a suitable substitution to evaluate the following integral. 19. ∫ \frac{e^{x} dx}{2+e^{x}}

Para resolver a integral \(\int \frac{e^{x} \, dx}{2 + e^{x}}\), podemos usar a substituição \(u = 2 + e^{x}\). 1. Derivando \(u\), temos \(du = e^{x} \, dx\). 2. Assim, a integral se transforma em \(\int \frac{du}{u}\). Agora, a integral \(\int \frac{du}{u}\) é igual a \(\ln |u| + C\). 3. Substituindo \(u\) de volta, obtemos \(\ln |2 + e^{x}| + C\). Portanto, a resposta final é: \[ \int \frac{e^{x} \, dx}{2 + e^{x}} = \ln |2 + e^{x}| + C \]