Use a suitable substitution to evaluate the following integral. 21. ∫ \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}}

Para resolver a integral \( \int \frac{dx}{e^{x} + e^{-x}} \), podemos fazer a substituição \( u = e^{x} \). Assim, temos: 1. \( du = e^{x} dx \) ou \( dx = \frac{du}{u} \). 2. A expressão \( e^{x} + e^{-x} \) se torna \( u + \frac{1}{u} = \frac{u^2 + 1}{u} \). Substituindo na integral, temos: \[ \int \frac{dx}{e^{x} + e^{-x}} = \int \frac{1}{\frac{u^2 + 1}{u}} \cdot \frac{du}{u} = \int \frac{u}{u^2 + 1} du. \] Agora, essa integral pode ser resolvida usando a substituição \( v = u^2 + 1 \), onde \( dv = 2u du \) ou \( du = \frac{dv}{2u} \). Substituindo, obtemos: \[ \int \frac{u}{u^2 + 1} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{v} dv = \frac{1}{2} \ln |v| + C = \frac{1}{2} \ln |u^2 + 1| + C. \] Voltando à variável original, temos: \[ \frac{1}{2} \ln |e^{2x} + 1| + C. \] Portanto, a integral \( \int \frac{dx}{e^{x} + e^{-x}} \) é: \[ \frac{1}{2} \ln |e^{2x} + 1| + C. \]